利用因數分解巧解數謎問題

【摘要】本文介紹了用因數分解巧解數謎問題的兩個例子.

【關鍵詞】數謎；因數分解

數的魅力出奇大，使得數論在很早之前便成為數學家和學習數學的人所鐘愛的學科，很多關于數字的游戲遂流傳下來，一些上升為理論，一些則演變為考題.數謎是數學競賽中長盛不衰的題材之一.

數字在生活中無處不在，很多數學家都表現出他們對數字的熱愛.數學家哈代（G.H.Hardy）在去醫院看望他的學生——印度數學家瑪努金時，為了打開話題，哈代說：今天乘坐的出租車號碼1729是一個無趣的數字.瑪努金說：不，它是一個很有意義的數字，它是能用兩種不同的方法表示成立方和的最小數.這個關于數字的小游戲，希望可以引起大家對數字的興趣，對數字的研究.

數是所有平民百姓都能看得懂的東西，數字問題，題目大家都可以明白，但是解決數字問題的內涵卻是非常大的，著名的費馬猜想就是關于數字的問題.

數謎，是謎底為某些數字或數的謎，即數學問題以猜謎的形式出現，因此十分有趣，容易引起大家思考.一般解數迷問題會用到“窮舉法”、“逐步推算法”、“解方程法”、“解不等式法”.本文介紹的是一種比較特殊的方法，對于一些特別的數，可以利用因數分解方法，為解決數謎問題帶來極大的便利.

下面是“希望杯”競賽中的一道題目.

例1 有兩個兩位數，它們的差是個位數字與十位數字相同的兩位數，它們的積是個、十、百位上數字相同的三位數，求這兩個兩位數.

分析 一看到此題，設這兩個兩位數為x，y，則x+y=AA(AA代表個位與十位數字相同的兩位數），x×y=BBB，由于所求未知數是兩位數，涉及數字少，大多數人會設這兩個兩位數分別為10a+b，10c+d，然后想辦法求出a，b，c，d.這樣做下去，運算容易出錯，且不易求出a，b，c，d.如果換一個角度想一想，從等式x×y=BBB的右端出發，利用等式左邊是乘法運算，等式右邊BBB的個、十、百位數字相同這一特點，把BBB分解為B×111，進一步，要知道111又可以分解為3×37，這道題解題的突破口便出現了.下面詳細寫出解題過程.

解 設這兩個兩位數為x，y，則

x+y=AA，x×y=BBB=B×111=B×3×37.

∵37整除x×y，37是一個素數，x，y均為兩位數，

故x，y中必有一個為37.

由于37×37>1000，

∴37必為兩個數中較大的一個.

然后另一個兩位數為3×B，對B進行試驗，使37-3×B為一個各位數字相同的兩位數，不難試出B=5.故這兩個兩位數分別為37，15.

例2 求一個是完全平方數的四位數，它的前兩個數碼和后兩個數碼分別相同.

分析 解這道題的突破口也是因數分解方法，學會把一些完全未知，但又規律的數字分解，需要一定的經驗和對數的了解、熟悉.兼顧統籌，解起數字問題來才能得心應手.

解 四位的完全平方數必是一個兩位數的平方，

設AB×AB=CCDD，CCDD=11×C0D，

∴11整除AB×AB，

∴11整除AB.

然后考察AB的可能性：44，55，66，77，88，99，便知AB為88.故這個完全平方數為7744.

小結 看到一些有重復數字的數，如BBB，CCDD，ABAB=AB×101這樣的特殊數字，而題目中牽涉這些數字的等式有牽涉乘法運算的，不妨可以考慮一下因數分解，將為解題帶來極大的便利.

數謎是一種有趣的數字游戲，可以鍛煉各種數學思維，希望同學們在課余時間看看有關數謎的書，從中體會數字游戲的樂趣，將會獲益良多.

【參考文獻】

［1］［美］約翰#8226;艾倫#8226;保羅士.數盲——數學無知者的世界［M］.柳柏濂，譯.上海：上海教育出版社，2005.

［2］柳柏濂，吳康.競賽數學的原理和方法［M］.廣州：廣東教育出版社，2002.

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