學習導數的幾何意義應注意的幾個問題

學生對切線的認識經過了一個由淺入深的過程：從初中對圓的切線的認識，到高中圓錐曲線的切線，再到后來學習了導數以后，由導數的幾何意義認識的切線.直到這時，學生才對切線有了本質的認識，但是，好多學生還是一知半解，在解題過程中出現這樣或那樣的錯誤.本文就學生在學習導數的幾何意義過程中應注意的幾個問題做了簡單小結，希望能幫助學生更好地理解導數的幾何意義.

一、曲線的切線與曲線的交點個數問題

好多學生認為曲線與其切線的交點有且只有一個，且整條曲線在其切線的一側，其實這僅僅是比較特殊的曲線的一類情況，比如圓與橢圓等，其切線與圓或橢圓有且僅有一個交點，且曲線在切線的一側.而對于一般的曲線，其在某點處的切線是否存在的依據不是交點的個數，而是導數中曲線的切線的定義：設曲線C為函數y=f(x)的圖形，在C上取一點M(x0，y0)及鄰近一點N(x0+Δx，y0+Δy)，過M，N作曲線割線，當點N沿著曲線無限接近M，即Δx→0時，割線MN的極限位置叫做曲線C上點M處的切線，相應割線MN的斜率的極限就是點M處切線的斜率，即limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=常數或∞，則曲線y=f(x)在點M(x0，y0)處存在切線.

例1 求函數y=cosx在點(π，-1)處的切線方程.

解 根據導數的幾何意義，所求切線的斜率為

k=y′|x=π=(cosx)′|x=π=0.

從而所求切線的方程為y-(-1)=0(x-π），即y=-1.

而直線y=-1與曲線y=cosx有無數個交點.

例2 求曲線y=3x4-2x3-9x2+4在x=1處的切線方程.

解 y′=12x3-6x2-18x=6x(2x2-x-3)，

y′|x=1=-12.

當x=1時，y=3-2-9+4=-4，

故切點坐標為(1，-4).

由點斜式得所求曲線的切線方程為y+4=12(x-1)，

即y=-12x+8.

而直線y=-12x+8與曲線y=3x4-2x3-9x2+4有三個交點且曲線分布在其切線的兩側.

二、函數y=f(x)在x=x0處的可導性與它在x0處的切線的存在性問題

若函數y=f(x)在點x0處可導，則limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx存在，且limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=f′(x0)，所以切線的斜率存在，切線自然存在；若limΔx→0ΔyΔx不存在，即切線的斜率不存在，此時可分為兩種情況，一是切線存在（limΔx→0ΔyΔx=∞），為垂直于軸的直線，二是切線不存在（limΔx→0-ΔyΔx≠limΔx→0+ΔyΔx）.

例3 求曲線y=ex1+x當x=0時的切線方程.

解 y′|x=0=xex(1+x)2x=0=0.

當x=0時，y=e01+0=1，故切點坐標為（0，1）.

故切線方程為y-1=0(x-0)，即y=1.

∴切線的斜率存在，切線自然存在.

例4 求曲線y=x13在點(0，0)處的切線方程.

解 limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(x0+Δx)13-x130Δx=limΔx→01(Δx)13=∞.

根據切線的定義，此時斜率不存在，故x=0是曲線y=x13在點(0，0)處的切線方程.

三、過點M(x0，y0)的曲線的切線方程和在點M(x0，y0)處的曲線的切線方程問題

這是一個極易混淆的問題，過某點的切線中，該點不一定是切點，在某點處的切線中，該點是切點，所以求曲線的切線方程，一要分清點是否在曲線上，二要分清是求曲線在x=x0處的切線還是曲線過點M(x0，y0)的切線.

例5 已知曲線y=13x3+43，求過點M(2，4)的切線方程.

解 雖然M(2，4)在曲線y=13x3+43上，但點M(2，4)不一定是切點，題目只需切線過點M(2，4)即可.

設曲線y=13x3+43與過點M(2，4)的切線相切于點(x0，y0)，則k=y′|x=x0=x20，

∴切線方程為y-y0=x20(x-x0)，

即y=x20x-23x30+43.

又 切線過點M(2，4)，

∴4=2x20-23x30+43，解得x0=-1或x0=2.

故所求切線方程為x-y+2=0或4x-y-4=0.

例6 求曲線y=x3過點P（1，1）的切線方程.

解 由于P點在曲線上，∴要分類討論.

當P是切點時，切線斜率k=y′|x=1=3x2|x=1=3，

∴切線方程為y-1=3（x-1），即3x-y-2=0.

當P不是切點時，設切點為A（x，x3）（x≠1），

則切線斜率k=3x2=x3-1x-1，即2x2-x-1=0.

解得x=-12（x=1舍）.

∴k=34.∴切線方程為y-1=34（x-1），

即3x-4y+1=0.

綜上所述，所求的切線方程為

3x-y-2=0或3x-4y+1=0.

從這兩個例子可以看出，當點在曲線上時，過該點的曲線切線也不一定是以該點為切點，而是要進行分類討論的.

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