靈活運用二項式定理

一、利用組合看定理

在(a+b)n的展開式中，an-rbr的系數的組合意義是從其中r個因式a+b中取b，有Crn種方法，而從余下的n-r個因式a+b中取a，即an-rbr的系數為Crn.靈活運用這種思想方法，對于解決相關問題非常重要.

例1 求(1+x+x2)(1-x)10展開式中x4的系數.

分析 運用上述組合思想，對于多項式1+x+x2的各項分別求(1-x)10中x4，x3，x2的系數，即得展開式中含x4項的系數為

C410×(-1)4+C310×(-1)3+C210×(-1)2=210-120+45=135.

二、利用多項式乘法求系數

有些題目直接運用定理不能或不容易解決，其實，只要直接根據多項式乘法法則，結合組合知識，該類問題即可獲解.

例2 在(x2+3x+2)5的展開式中，x的系數為().

A.160

B.240

C.360

D.800

分析 (x2+3x+2)5為五個相同的因式x2+3x+2之積.欲得x項，根據多項式乘法法則，只需在五個相同的因式中任選一項，取出此項中3x的去乘其余四個因式中的常數項，故x的系數為C15×3×24=240.

三、正確區分兩個系數

“兩個系數”是指二項式系數和展開式中某一項的系數，展開式中第r+1項的二項式系數是Crn，它與第r+1項的系數意義不同.

例3 求(x3+2x)7的展開式的第四項的二項式系數和項的系數.

分析 展開式的第四項的二項式系數為C37=35，而展開式中第四項的系數為C37×23=280，二者一同，不言而喻.

四、熟練運用通項

二項展開式中Crnan-rbr叫做二項展開式的通項，它是展開式中的第r+1項，而非第r項，明確這一點，可幫助我們在解題時走出誤區.

例4 由(3x+32)100展開所得的x的多項式中，系數為有理數的共有().

A.50項

B.17項

C.16項

D.15項

分析 (3x+32)100的展開式通項為

Tr+1=Cr100(3x)100-r#8226;(32)r

=350-r2#8226;2r3#8226;Cr100#8226;x100-r.

式子中r=0，1，…，100，當r不同時，x的冪次也不同，為使x的方冪的系數是有理數，當且僅當r是6的整數倍.

設r=6k(k∈Z，k≥0)，則有

0≤6k≤100，0≤k≤1623.

故展開式中系數是有理數的項有17項.

五、靈活運用賦值法

在二項展開式中給不同的值，可巧證一些組合數恒等式.

如在(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+…+Cnnbn中，

令a=b=1，得C0n+C1n+…+Cnn=2n.

令a=2，b=-1，得

2n-C1n#8226;2n-1+C2n#8226;2n-2+…+(-1)n-1Cn-1n#8226;2+(-1)n=1.

例5 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.求：

（1）a1+a2+…+a7；

（2）a1+a3+a5+a7；

（3）a0+a2+a4+a6；

（4）|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.

分析 令x=1，則a0+a1+a2+…+a7=-1.①

令x=-1，則a0-a1+a2-a3+…-a7=37.②

（1）∵a0=C07=1，∴a1+a2+…+a7=-1-1=-2.

（2）（①-②）÷2，a1+a3+a5+a7=-1094.

（3）（①+②）÷2，a0+a2+a4+a6=1093.

（4）|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|，即(1+2x)7展開式中各項的系數和為37=2187.

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