淺談解決數學問題在創造性思維培養中的作用

【摘要】21世紀需要大量的創新人才，而創新人才要有創造性思維.在數學學習中，不僅可以培養學生的邏輯思維，同樣可以培養學生的創造性思維.本文從利用一題多解、逆向思維訓練以及轉換思想在數學解題中的應用，闡明了數學學習在創新思維能力培養中的重要作用.

【關鍵詞】創造性思維；一題多解；逆向思維；轉換思想；一題多變

21世紀需要大量的創新人才，而創新人才要有創造性思維.求異思維是創造性思維的主要成分，并且在創造性活動中起重要的作用.因此培養求異思維能力具有積極的意義.

當前各級學校比較重視求同思維能力的訓練而忽視求異思維能力的培養.如有的教師按照固定的模式講課、提問，按照統一的答案給分，而學生也按照固定的一個答案回答問題.這樣無形之中使學生形成了固定的思維模式，嚴重影響了學生的觀察力、好奇心及創新能力的培養.

事實上，客觀事物是普遍聯系的，解決問題絕不能割裂事物間的相互聯系，去尋求一個孤立、不變的固定的答案.通過思維創造性活動，不僅揭露事物的本質及其內在聯系，而且在這個基礎上產生新穎的、超出一般規律的思維成果.求異思維重在開闊學生思路，啟發學生聯想，從各方面、各角度、各層次思考問題，并在各種結構的比較中，選擇富有創造性的異乎尋常的新構思.那么如何在數學教學中進行創造性思維能力的培養呢？

數學學習曾被比喻為思維的體操，而著名的數學家波利亞也曾說過：“掌握數學就意味著解題.”解題教學在數學學習中占有十分重要的地位.因此，解題教學是培養創造性思維的極好機會和手段.

一、利用一題多解打破思維定式

學生在解題時，思維定式影響著解決問題的傾向.思維定式，即先前思維活動所形成的解決問題的方法成為當前解決問題的一種準備狀態.思維定式有積極的作用，但在解決某些相似的問題時也會發生消極的作用，會使解決問題的人陷于習慣性思維之中，而不能針對變化的新情境采用相應的措施尋求變異，找到解決問題的新方法.

一題多解，需要學生有扎實的基礎知識，能從多方面、多角度去思考問題、解決問題，打破思維定式，不拘泥于一舉之得，使學生在多維思維中得到靈活處理問題的思想方法，從而培養學生的求異思維能力.

例1 已知數列｛an｝滿足an=nn+2，試比較an與an+1的大小.

方法一 做差：an+1-an=n+1n+3-nn+2=2(n+3)(n+2)>0，∴an+1>an.

方法二 做商：anan+1=n+1n+3nn+2=n2+3nn2+3n+2<1，∴an+1>an.

方法三 單調性：an=nn+2=n+2-2n+2=1-2n+2，an關于n單調遞增，∴an+1>an.

方法四 濃度法：把an=nn+2看成是一種溶液（糖）的濃度，隨著n的增大（相當于往溶液里加糖）濃度增大，所以得an+1>an.

由此題可以看出，在解決問題時，我們不應僅局限于找到問題的答案，而應該拓寬思路.通過多種途徑找到解決問題的方法，從而達到拓展思維、進而培養創造性思維的目的.

二、利用公式進行逆向思維訓練

在解題中，有些問題按照正向思考不易解決或雖能解決，但過于繁瑣時，可試著逆向思維.逆向思維是根據概念、原理、方法及研究對象的特點，從它們的相反或否定方面去進行思考，以產生新的方法.

數學中有大量的公式，這些公式不僅可以按照我們的思維習慣——正向思維即從左向右使用它們，還可以從右向左即逆向使用它們.因此，可利用公式進行逆向思維的訓練，從而間接地培養了求異思維的能力.

例2 已知tanα=2，求13sin2α+2cos2α的值.

按照正向思維，學生會從已知tanα=2，推知α在第一或第三象限，分兩種情況求出sinα和cosα的值，最后得出的結論是相同的.這個過程顯然也是比較復雜的.為了培養學生的求異思維，教師可引導學生思考：能否把所求的式子化為只含有tanα，再進一步啟發：利用公式sin2α+cos2α=1，這時習慣于正向思維的學生把13sin2α+2cos2α化為12+sin2α再往下想就發生困難，而善于逆向使用公式的同學則想到的是1=sin2α+cos2α，從而把13sin2α+2cos2α化為sin2α+cos2α3sin2α+2cos2α，再分子、分母同時除以cos2α，得1+tan2α3tan2α+2，式中只含有tanα，把已知代入，即得到結果.

從此例可以看出在公式的教學中，要注意從“正”“反”兩方面進行講解，引導學生從“正”“反”兩方面使用公式，不僅有助于逆向思維，更有助于創新思維能力的培養.

三、重視轉換思想在數學解題中的運用

數學上的轉換可分為問題的轉換和方法的轉換.

1.數學問題的轉換.就是要通過各種方式，把原來比較困難的數學問題轉換為與之有關的另一個問題來求解.

例3 若方程cos2x+2sinx-a=0有實數解，求a的取值范圍.

解 原方程等價于2sin2x-2sinx+a-1=0.

顯然根據此二次方程在［-1，1］內有實數解，求a的取值范圍，比較困難，且在此問題中，x為主變量，a為參數.下面通過改變主變量轉化問題，把a看作x的函數，則得a=2sin2x-2sinx-1.則問題轉化為求函數a的值域.

顯然a=2sin2x-2sinx-1=2(sin2x-sinx)-1=2sinx-122-32，即-32≤a≤3.

此問題的解決是通過將參數升為主變量，突破思維定式，把原問題轉換為另一個易于解決的問題，實現了數學問題的轉換.

2.數學方法的轉換.是指用某一方法不能解決問題時，采用另一種方法.如在數學命題中用直接證明法或順證很難、甚至不能證明出來時，用間接證明法中的同一法或反證法，就可以解決問題，如“兩個平行平面的判定定理”就是用反證法證明出來的.再看下面的例題.

例4 解方程(x-1)(x-2)+(x-3)(x-4)=2.

分析 此題按照我們的常規思路將方程兩邊（或移項后）平方，轉化為有理方程.但是必須進行兩次平方，顯然，這樣的解方程過程如果所給方程比較復雜時，求解方程的過程也將很繁瑣.下面介紹另一種解法（即構造一個等式）.

解 (x-1)(x-2)+(x-3)(x-4)=2.(1)

［(x-1)(x-2)］2-［(x-3)(x-4)］2=4x-10.(2)

(2)÷(1)，得

(x-1)(x-2)-(x-3)(x-4)=4x-102.(3)

(1)+(3)，得2(x-1)(x-2)=2+4x-102.

化簡，得x2-5x+6=0，解得x1=2，x2=3.

經檢驗，x1=2，x2=3均是原方程的解.

此種解法打破了常規的解法思路，根據題目的結構構造了一個輔助等式（方程），然后聯立這兩個等式，從而達到了簡化解題的目的，拓寬了思維方式.

四、注意一題多變，做到求同存異

在數學題的海洋中，題與題貌似各異，而本質相同解法一致的習題也大量存在，若搞題海戰術必然浪費大量的時間和精力，得不償失.為此，要加強對學生進行“舉一反三”的訓練，從某個問題出發，派生、強化變形出一類問題，通過對比與比較，使學生在溝通知識間聯系的同時，又能觸類旁通.通過求同存異鍛煉學生的求異思維.

總之，在數學教學過程中，不僅可以加強對學生邏輯思維能力的培養，也要經常堅持注重對學生求異思維能力的培養，提高學生思維的靈活性和敏捷性.當然在培養學生求異思維過程中，仍有許多問題值得思考.比如，如何體現思維的“異”，對學生的錯誤的“異類”做法，如何正確引導，如何激發學生探索問題的積極性和主動性等.相信在學生的求異思維能力有所提高的同時，我們教師的教學方式也將由簡單的傳授式到引導學生主動探索式產生一次重大變革.

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