淺談解決數(shù)學(xué)問(wèn)題在創(chuàng)造性思維培養(yǎng)中的作用

【摘要】21世紀(jì)需要大量的創(chuàng)新人才，而創(chuàng)新人才要有創(chuàng)造性思維.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，同樣可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.本文從利用一題多解、逆向思維訓(xùn)練以及轉(zhuǎn)換思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，闡明了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在創(chuàng)新思維能力培養(yǎng)中的重要作用.

【關(guān)鍵詞】創(chuàng)造性思維；一題多解；逆向思維；轉(zhuǎn)換思想；一題多變

21世紀(jì)需要大量的創(chuàng)新人才，而創(chuàng)新人才要有創(chuàng)造性思維.求異思維是創(chuàng)造性思維的主要成分，并且在創(chuàng)造性活動(dòng)中起重要的作用.因此培養(yǎng)求異思維能力具有積極的意義.

當(dāng)前各級(jí)學(xué)校比較重視求同思維能力的訓(xùn)練而忽視求異思維能力的培養(yǎng).如有的教師按照固定的模式講課、提問(wèn)，按照統(tǒng)一的答案給分，而學(xué)生也按照固定的一個(gè)答案回答問(wèn)題.這樣無(wú)形之中使學(xué)生形成了固定的思維模式，嚴(yán)重影響了學(xué)生的觀察力、好奇心及創(chuàng)新能力的培養(yǎng).

事實(shí)上，客觀事物是普遍聯(lián)系的，解決問(wèn)題絕不能割裂事物間的相互聯(lián)系，去尋求一個(gè)孤立、不變的固定的答案.通過(guò)思維創(chuàng)造性活動(dòng)，不僅揭露事物的本質(zhì)及其內(nèi)在聯(lián)系，而且在這個(gè)基礎(chǔ)上產(chǎn)生新穎的、超出一般規(guī)律的思維成果.求異思維重在開闊學(xué)生思路，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想，從各方面、各角度、各層次思考問(wèn)題，并在各種結(jié)構(gòu)的比較中，選擇富有創(chuàng)造性的異乎尋常的新構(gòu)思.那么如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)呢？

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)曾被比喻為思維的體操，而著名的數(shù)學(xué)家波利亞也曾說(shuō)過(guò)：“掌握數(shù)學(xué)就意味著解題.”解題教學(xué)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有十分重要的地位.因此，解題教學(xué)是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的極好機(jī)會(huì)和手段.

一、利用一題多解打破思維定式

學(xué)生在解題時(shí)，思維定式影響著解決問(wèn)題的傾向.思維定式，即先前思維活動(dòng)所形成的解決問(wèn)題的方法成為當(dāng)前解決問(wèn)題的一種準(zhǔn)備狀態(tài).思維定式有積極的作用，但在解決某些相似的問(wèn)題時(shí)也會(huì)發(fā)生消極的作用，會(huì)使解決問(wèn)題的人陷于習(xí)慣性思維之中，而不能針對(duì)變化的新情境采用相應(yīng)的措施尋求變異，找到解決問(wèn)題的新方法.

一題多解，需要學(xué)生有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，能從多方面、多角度去思考問(wèn)題、解決問(wèn)題，打破思維定式，不拘泥于一舉之得，使學(xué)生在多維思維中得到靈活處理問(wèn)題的思想方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的求異思維能力.

例1 已知數(shù)列｛an｝滿足an=nn+2，試比較an與an+1的大小.

方法一 做差：an+1-an=n+1n+3-nn+2=2(n+3)(n+2)>0，∴an+1>an.

方法二 做商：anan+1=n+1n+3nn+2=n2+3nn2+3n+2<1，∴an+1>an.

方法三 單調(diào)性：an=nn+2=n+2-2n+2=1-2n+2，an關(guān)于n單調(diào)遞增，∴an+1>an.

方法四 濃度法：把a(bǔ)n=nn+2看成是一種溶液（糖）的濃度，隨著n的增大（相當(dāng)于往溶液里加糖）濃度增大，所以得an+1>an.

由此題可以看出，在解決問(wèn)題時(shí)，我們不應(yīng)僅局限于找到問(wèn)題的答案，而應(yīng)該拓寬思路.通過(guò)多種途徑找到解決問(wèn)題的方法，從而達(dá)到拓展思維、進(jìn)而培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的目的.

二、利用公式進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練

在解題中，有些問(wèn)題按照正向思考不易解決或雖能解決，但過(guò)于繁瑣時(shí)，可試著逆向思維.逆向思維是根據(jù)概念、原理、方法及研究對(duì)象的特點(diǎn)，從它們的相反或否定方面去進(jìn)行思考，以產(chǎn)生新的方法.

數(shù)學(xué)中有大量的公式，這些公式不僅可以按照我們的思維習(xí)慣——正向思維即從左向右使用它們，還可以從右向左即逆向使用它們.因此，可利用公式進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練，從而間接地培養(yǎng)了求異思維的能力.

例2 已知tanα=2，求13sin2α+2cos2α的值.

按照正向思維，學(xué)生會(huì)從已知tanα=2，推知α在第一或第三象限，分兩種情況求出sinα和cosα的值，最后得出的結(jié)論是相同的.這個(gè)過(guò)程顯然也是比較復(fù)雜的.為了培養(yǎng)學(xué)生的求異思維，教師可引導(dǎo)學(xué)生思考：能否把所求的式子化為只含有tanα，再進(jìn)一步啟發(fā)：利用公式sin2α+cos2α=1，這時(shí)習(xí)慣于正向思維的學(xué)生把13sin2α+2cos2α化為12+sin2α再往下想就發(fā)生困難，而善于逆向使用公式的同學(xué)則想到的是1=sin2α+cos2α，從而把13sin2α+2cos2α化為sin2α+cos2α3sin2α+2cos2α，再分子、分母同時(shí)除以cos2α，得1+tan2α3tan2α+2，式中只含有tanα，把已知代入，即得到結(jié)果.

從此例可以看出在公式的教學(xué)中，要注意從“正”“反”兩方面進(jìn)行講解，引導(dǎo)學(xué)生從“正”“反”兩方面使用公式，不僅有助于逆向思維，更有助于創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng).

三、重視轉(zhuǎn)換思想在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

數(shù)學(xué)上的轉(zhuǎn)換可分為問(wèn)題的轉(zhuǎn)換和方法的轉(zhuǎn)換.

1.數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)換.就是要通過(guò)各種方式，把原來(lái)比較困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為與之有關(guān)的另一個(gè)問(wèn)題來(lái)求解.

例3 若方程cos2x+2sinx-a=0有實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.

解 原方程等價(jià)于2sin2x-2sinx+a-1=0.

顯然根據(jù)此二次方程在［-1，1］內(nèi)有實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍，比較困難，且在此問(wèn)題中，x為主變量，a為參數(shù).下面通過(guò)改變主變量轉(zhuǎn)化問(wèn)題，把a(bǔ)看作x的函數(shù)，則得a=2sin2x-2sinx-1.則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)a的值域.

顯然a=2sin2x-2sinx-1=2(sin2x-sinx)-1=2sinx-122-32，即-32≤a≤3.

此問(wèn)題的解決是通過(guò)將參數(shù)升為主變量，突破思維定式，把原問(wèn)題轉(zhuǎn)換為另一個(gè)易于解決的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)換.

2.數(shù)學(xué)方法的轉(zhuǎn)換.是指用某一方法不能解決問(wèn)題時(shí)，采用另一種方法.如在數(shù)學(xué)命題中用直接證明法或順證很難、甚至不能證明出來(lái)時(shí)，用間接證明法中的同一法或反證法，就可以解決問(wèn)題，如“兩個(gè)平行平面的判定定理”就是用反證法證明出來(lái)的.再看下面的例題.

例4 解方程(x-1)(x-2)+(x-3)(x-4)=2.

分析 此題按照我們的常規(guī)思路將方程兩邊（或移項(xiàng)后）平方，轉(zhuǎn)化為有理方程.但是必須進(jìn)行兩次平方，顯然，這樣的解方程過(guò)程如果所給方程比較復(fù)雜時(shí)，求解方程的過(guò)程也將很繁瑣.下面介紹另一種解法（即構(gòu)造一個(gè)等式）.

解 (x-1)(x-2)+(x-3)(x-4)=2.(1)

［(x-1)(x-2)］2-［(x-3)(x-4)］2=4x-10.(2)

(2)÷(1)，得

(x-1)(x-2)-(x-3)(x-4)=4x-102.(3)

(1)+(3)，得2(x-1)(x-2)=2+4x-102.

化簡(jiǎn)，得x2-5x+6=0，解得x1=2，x2=3.

經(jīng)檢驗(yàn)，x1=2，x2=3均是原方程的解.

此種解法打破了常規(guī)的解法思路，根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)構(gòu)造了一個(gè)輔助等式（方程），然后聯(lián)立這兩個(gè)等式，從而達(dá)到了簡(jiǎn)化解題的目的，拓寬了思維方式.

四、注意一題多變，做到求同存異

在數(shù)學(xué)題的海洋中，題與題貌似各異，而本質(zhì)相同解法一致的習(xí)題也大量存在，若搞題海戰(zhàn)術(shù)必然浪費(fèi)大量的時(shí)間和精力，得不償失.為此，要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行“舉一反三”的訓(xùn)練，從某個(gè)問(wèn)題出發(fā)，派生、強(qiáng)化變形出一類問(wèn)題，通過(guò)對(duì)比與比較，使學(xué)生在溝通知識(shí)間聯(lián)系的同時(shí)，又能觸類旁通.通過(guò)求同存異鍛煉學(xué)生的求異思維.

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，不僅可以加強(qiáng)對(duì)學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)，也要經(jīng)常堅(jiān)持注重對(duì)學(xué)生求異思維能力的培養(yǎng)，提高學(xué)生思維的靈活性和敏捷性.當(dāng)然在培養(yǎng)學(xué)生求異思維過(guò)程中，仍有許多問(wèn)題值得思考.比如，如何體現(xiàn)思維的“異”，對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤的“異類”做法，如何正確引導(dǎo)，如何激發(fā)學(xué)生探索問(wèn)題的積極性和主動(dòng)性等.相信在學(xué)生的求異思維能力有所提高的同時(shí)，我們教師的教學(xué)方式也將由簡(jiǎn)單的傳授式到引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索式產(chǎn)生一次重大變革.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文