精選例題,提高課堂教學有效性的若干嘗試

【摘要】數學課堂教學效果非常不理想，主要是因為教師在課堂教學中不重視數學習題的選取，學生的數學思維能力得不到培養，解決問題的能力得不到提高而引起的.開放性數學習題，有利于培養學生的數學探究能力；多種解法的數學習題，有利于培養學生的數學創新思維能力；具有反思價值的數學習題，有利于培養學生的歸納、總結能力.分類討論題型為培養學生的發散性思維能力提供了一個非常實用的平臺.

【關鍵詞】例題；提高；有效性

數學是一門特殊學科，在學習過程中以運算為主要手段.正是由于其特殊性，使得很多數學教師在教學活動中使用題海戰術，要求學生完成大量習題.此外，有許多家長自行給孩子加壓，為孩子購買大量的學習資料，加重了學生負擔.多而不精的數學習題，令學生無喘息之機，久而久之，會失去學習數學的興趣和信心.因此，如何提高課堂教學的有效性，減輕學生的學習負擔，是中學教師必須解決的問題.課堂教學是一個動態的復雜的過程，教師的“教”是為了更好地促進學生的“學”.我們在平時的教學中都很重視課堂教學的方式、方法和技巧，卻很少去關注影響課堂教學效果的一個關鍵因素：“精選習題”.目前很多初中學校的現狀是：學生學習數學只停留在表面，雖然能記住數學定理、公式，但不會應用它們來解決問題；遇到思維量大的數學問題往往依賴老師去解決，教學效果非常不理想.追根究底，主要是因為教師在課堂教學中不重視數學習題的選取，學生的數學思維能力得不到培養，解決問題的能力得不到提高而引起的.如何選擇習題，才能有效地提高學生的數學思維能力，提高課堂教學效果呢？

一、精選開放性數學例題，有利于培養學生的數學探究能力

學生學習知識的過程，是以一個積極的心態調動原有的知識經驗、發現新問題、同化新知識的主動構建過程，因此，在教學中，我們多關注學生探索能力的培養，對提高課堂教學效果很有幫助.而開放型探索性數學習題正是培養學生探索能力的好題型.開放型探索性問題可分為題設開放型、結論開放型、題設和結論均開放型等幾類.其中結論開放型探索性問題的特點是給出一定的條件而未給出結論，要求在給定條件的前提下探索結論的多樣性，然后通過推理證明確定結論;題設開放型探索性問題的特點是給出結論，不給出條件或條件殘缺，需在給定結論的前提下探索結論成立的條件，但滿足結論成立的條件往往不唯一，答案與已知條件對整個問題而言只要是充分的、相容的、獨立的.就視為正確的；全開放型是題設、結論都不確定或不太明確的開放型探索性問題，需要我們進行比較全面深入地探索，才能研究出解決問題的辦法來.因此，加強開放型探索性問題的教學，引導學生主動地進行觀察、猜測、驗證、推理等數學活動，有利于提高他們解決數學問題的能力.

例1 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.當直線MN繞點C旋轉時，點C，D，E的位置關系有幾種？并分別猜想在這幾種位置關系下DE，AD，BE具有怎樣的等量關系，且加以證明.

分析 本題是結論開放型題，其特點是給出一定的條件而未給出結論，結論不確定、不唯一；隨著C，D，E的位置的不同，DE，AD，BE的關系也不同，解決這個問題，需要根據條件推理創新，要求學生對幾何圖形進行多角度、全方位地分析，探索結論的多樣性.

解 點C，D，E的位置關系有三種，如圖1，圖2，圖3.

圖 1

圖 2

圖 3

（1）當C在D，E之間時，猜想AD，DE，BE所滿足的等量關系是DE=AD+BE：

∵∠ADC=∠ACB=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°.

∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE.

∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CE=AD，CD=BE.

∴DE=CE+CD=AD+BE.

（2）當D在C，E之間時，猜想AD，DE，BE所滿足的等量關系是DE=AD-BE：

∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠CBE.

又 ∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，

∴CE=AD，CD=BE，∴DE=CE-CD=AD-BE.

(3)當E在C，D之間時，猜想AD，DE，BE所滿足的等量關系是DE=BE-AD：

∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE.

又 ∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE.

∴DE=CD-CE=BE-AD.

本題是結論開放型題，其特點是給出一定的條件而未給出結論，結論不確定、不唯一，隨著C，D，E的位置的不同，DE，AD，BE的關系也不同.解決這個問題，需要根據條件推理創新，要求學生對幾何圖形進行多角度、全方位地分析，探索結論的多樣性.這類開放型題目的引入，對學習是有意義和富有挑戰性的，對提高學生的探究能力大有裨益.

二、精選多種解法的數學例題，有利于培養學生的數學創新能力

圖 4

例2 如圖4，以△ABD的邊AB為直徑作半圓O，交AD于點C，過點C的切線CE和BD互相垂直，垂足為E，求證：AB=BD.

證法一 連接OC，∵CE是⊙O的切線，∴OC⊥CE.

又 ∵BD⊥CE，

∴OC∥BD，∴∠ACO=∠ADB.

又 ∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC，

即∠ADB=∠BAD，∴AB=BD.

證法二 連接BC，∵CE是⊙O的切線，

∴∠BCE=∠BAC.

∵BC⊥AC，∴∠BCA=∠BCD=90°.

在Rt△BCD中，∵CE⊥BD，∴∠BCE=∠BDC，

即∠ADB=∠BAD，∴AB=BD.

證法三 連接OC，∵CE是⊙O的切線，∴OC⊥CE.

又 ∵BD⊥CE，∴OC∥BD.

∵點O是AB的中點，∴點C是AD的中點，

∴OC=12BD.

又 ∵AB是直徑，∴OC=12AB，∴AB=BD.

證法四 連接BC，∵BC⊥AC，∴∠BCA=∠BCD=90°.

∵CE是⊙O的切線，

∴∠BCE=∠BAC，∴∠ABC=∠DBC.

又 ∵BC=BC，∴△ABC≌△DBC，∴AB=BD.

證法五 連接BC，OC，∵CE是⊙O的切線，∴OC⊥CE.

又 ∵BD⊥CE，∴OC∥BD，∴∠DBC=∠OCB.

∵OC=OB，∴∠ABC=∠OCB，∴∠ABC=∠DBC.

又∵BC=BC，且BC⊥AC，

∴∠BCA=∠BCD=90°，∴△ABC≌△DBC，∴AB=BD.

本例的五種解法各有特色：證法一、證法二都是通過“等角對等邊”來證明AB=BD.不同的是，證法一用“兩直線平行同位角相等”和“等邊對等角”來證明∠ADB=∠BAD；而證法二則是用“弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角”和“等角的余角相等”來證明∠ADB=∠BAD.證法三則更簡捷，用三角形中位線定理一步到位達到證明目的.證法四和證法五都是通過“三角形全等”來證明AB=BD.在尋找三角形全等的條件時，證法四用“等角的余角相等”來證明∠ABC=∠DBC；而證法五則用“兩直線平行內錯角相等”和“等邊對等角”來證明∠ABC=∠DBC.這樣，課堂教學中，引導學生進行積極地觀察、分析和思考，從各個不同角度和不同途徑去尋求問題的答案，使題目涉及的知識和方法延伸到數學的各個知識點，力求溝通它們之間的聯系，不但使學生靈活、有趣地掌握了雙基，又能調動學生積累的全部智慧和熱情，使他們的思維不局限于一個方向，有利于培養學生的數學創新思維能力.

三、精選具有反思價值的數學例題，有利于培養學生的歸納能力

反思的過程是一個積極訓練學生創造性思維，優化思維品質的過程.數學習題進行解后反思，尤其是對解題的過程、方法、結果進行總結，引導學生善于歸類，善于做規律的小結和技巧的揣摩，再進一步作一題多變、一題多問、一題多解，挖掘例題的深度和廣度，擴大例題的輻射面，是提高學生解題能力的一種有效方法.

例3 某供電部門準備在輸電主干線l上連接一個分支線路，分支點為M，同時向新落成的A，B兩個居民小區送電.已知居民小區A，B分別到主干線l的距離AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米.

圖 5 圖 6

（1）如果居民小區A，B在主干線l的兩旁，如圖5所示，那么分支點M在什么地方時總線路最短？最短線路的長度是多少千米？

（2）如果居民小區A，B在主干線l的同旁，如圖6所示，那么分支點M在什么地方時總線路最短？此時分支點M與A1的距離是多少千米？

解 （1）方法一：連接AB，AB與l的交點就是所求分支點M，分支點開在此處，總線路最短.

∵∠BB1M=∠AA1M=90°（已知），∠BMB1=∠AMA1（對頂角相等），

∴△B1BM∽△A1AM，∴B1MA1M=BB1AA1，

即4-A1MA1M=12，解得A1M=83.

由勾股定理，得

AB=AM+BM=22+832+12+432

=103+53=5.

所以分支點M在線段A1B1上且距A點83千米處，最短線路的長度為5千米.

圖 7

方法二：連接AB，AB與l的交點就是所求分支點M，分支點開在此處，總線路最短.過B點作l的平行線，與AA1的延長線交于P點，如圖7，則∠APB=90°，BP=A1B1=4，AP=A1A+B1B=3.在Rt△APB中，根據勾股定理，得AB=AP2+BP2=32+42=5.所以最短線路的長度為5千米.

（2）如圖7作B點關于直線l的對稱點B2，連接AB2交直線l于點M，此處即為分支點，由（1）知，A1M長度為83千米.

解決該問題后，如果教師引導學生進行反思，就會有如下兩點收獲：第一，在定直線上找一點使它到兩定點的距離之和最小時，分兩種情況：若這兩定點在該直線的異側，則這兩點的連線與該直線的交點為所求；若這兩定點在該直線的同側，則需作其中一點關于該直線的對稱點，該對稱點與另一點的連線與該直線的交點為所求.第二，勾股定理是求線段長度常用的方法.這樣，通過反思解題方法和規律，學生就能舉一反三，遇到類似的問題就能輕而易舉地解決了.

四、精選分類討論型例題，有利于培養學生的發散性思維能力

分類討論思想是中學數學的重要思想，其本質是根據所研究對象的性質差異，分各種不同的情況予以分析解決.分類討論題覆蓋知識點較多，具有較高的邏輯性及很強的綜合性，有利于拓展學生的知識面和培養學生的發散性思維能力.

圖 8

例4 如圖8，已知正方形ABCD與正方形EFGH的邊長分別是42和22，它們的中心O1，O2都在直線l上，AD∥l，EG在直線l上，l與DC相交于點M，ME=7-22，當正方形EFGH沿直線l以每秒1個單位的速度向左平移時，正方形ABCD也繞O1以每秒45°順時針方向開始旋轉，在運動變化過程中，它們的形狀和大小都不改變.

（1）當兩個正方形按照各自的運動方式同時運動3秒時，正方形ABCD停止旋轉，這時AE=，O1O2=-2.

（2）當正方形ABCD停止旋轉后，正方形EFGH繼續向左平移的時間為x秒，兩正方形重疊部分的面積為y，求y與x之間的函數表達式.

解 （1）0 6

（2）當正方形ABCD停止運動后，正方形EFGH繼續向左平移時，與正方形ABCD重疊部分的形狀也是正方形，如圖9、圖10、圖11，重疊部分的面積y與x之間的函數關系應分四種情況：

圖 9

圖 10

圖 11

①如圖9，當0≤x<4時，∵EA=x，∴y與x之間的函數關系式為y=x22.

②如圖10，當4≤x<8時，y與x之間的函數關系式為y=(22)2=8.

③如圖11，當8≤x<12時，∵CG=12-x，∴y與x之間的函數關系式為y=(12-x)22=12x2-12x+72.

④當x≥12時，y與x之間的函數關系式為y=0.

本題中兩個正方形，一個平移、一個靜止，使得重疊部分所得的正方形的大小和位置隨著改變，從而在解題時產生分類討論.平移和旋轉是圖形常見的變換，正是因為“變換”這種“運動”，使得圖形間的位置關系出現不同情況，能激發學生的學習熱情.因此，在教學中，教師如果能利用分類討論作為數學平臺，就能使學生的發散性思維能力得到培養.

總之，教師在課堂教學中如果能為學生數學思維能力發展的需要服務，精選數學習題進行教學，讓學生在數學活動中解題能力得到提高，就能激勵學生的學習興趣，變被動學習為主動學習，達到提高課堂教學效果的目的.

【參考文獻】

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［2］徐斌艷.數學教育展望.上海：華東師范大學出版社，2001.

［3］九年義務教育全日制初級中學數學教學大綱(試用修訂版).北京：人民教育出版社，2000.

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文