等價轉化思想在函數(shù)中的應用

【摘要】一般地說，解題時通常把所給的命題等價轉化為另一種容易理解的語言或容易求解的模式，把復雜的問題分解為幾個簡單的問題，把生澀的問題仔細分析，變?yōu)樵谝延兄R范圍內(nèi)能夠解決的問題，從而得出正確的結果，這種方法就是等價轉化法.等價轉化法是一種最基本的思維模式，歷年高考中對等價轉化思想的考查比重都比較大，是高考考查的熱點.教師在平時就要不斷培養(yǎng)和訓練學生自覺的轉化意識，提高學生解決數(shù)學問題的能力.本文以函數(shù)題型為例，談談等價轉化思想在函數(shù)中的應用.

【關鍵詞】等價轉換；函數(shù)；應用

一、函數(shù)與方程之間的轉化

函數(shù)與x軸的交點橫坐標為對應方程的根.在求函數(shù)零點時，我們通常轉化為求對應方程的根；而在求方程解的問題時，又通常轉化為兩函數(shù)交點問題.

例1 （2010年江蘇常州）若函數(shù)y=12|1-x|+m存在兩個零點，則m的取值范圍是.

解析 函數(shù)y=12|1-x|+m有兩個零點方程12|1-x|+m=0函數(shù)y=12|1-x|與函數(shù)y=-m有兩個交點.畫出兩個函數(shù)圖像，得出0<-m<1，所以m的取值范圍為（0，1）.

二、函數(shù)與不等式之間的轉化

1.不等式恒成立問題

一元二次不等式在R上恒成立可用對應方程根的判別式去判斷，而不等式在某區(qū)間上恒成立問題通常轉化為求函數(shù)的最值問題.

例2 若不等式x2+ax+1≥0對于一切x∈0，12成立，則a的最小值是.

解析 此題可轉化為函數(shù)f(x)=x2+ax+1在區(qū)間0，12內(nèi)最小值大于等于0.

當-a2<0，即a>0時，f(x)>f(0)=1，所以a>0；

當0≤-a2≤12，即-1≤a≤0時，fmin=f(a)=1-a24≥0-2≤a≤2，所以-1≤a≤0；

當-a2>12，即a<-1時，fmin=f(2)=5+2a≥0a≥-52，所以-52≤a<-1.綜上所述，a≥-52.所以a的最小值為-52.

另解（分離常數(shù)法） 因為x∈0，12，所以不等式x2+ax+1≥0可化為a≥-x2-1x，則a的最小值即是g(x)=-x2-1x的最大值，而在0，12上g′(x)=-1+1x2>0恒成立，所以g(x)在0，12上為增函數(shù)，gmax=g(2)=-52，故a的最小值為-52.

2.利用不等式解決函數(shù)值域問題

函數(shù)的值域通常轉化為函數(shù)單調性問題，而求函數(shù)的極值、單調性有關的問題通常用導數(shù)去求解.

例3 已知函數(shù)f(x)=x2-2x，g(x)=ax+2(a>0)，對x1∈(-1，2)，x2∈(-1，2)，使g(x1)=f(x2)，則a的取值范圍為.

解析 此題等價于函數(shù)g(x)的所有函數(shù)值都落在f(x)的值域內(nèi)，所以把g(x1)=f(x2)轉化為fmax>gmax，fmin-1，a>0，得到0

3.函數(shù)與其他各分支之間的轉化

高考注重學生綜合能力的考查，一道題可能會涉及多個知識點，這就需要學生熟練地掌握基礎知識，把命題進行合理轉化.

三、正難則反轉化問題

某些數(shù)學問題，比如在題目或結論中出現(xiàn)“至少”“至多”或者“不”之類的否定詞的時候，有時候從正面思考比較復雜，不妨換位思考，從問題的結論入手，或者從命題的條件或結論的反面去思考，從而解決問題，這就是“正難則反”.“正難則反”是一種重要的解題方法，若能夠靈活使用，則能巧妙地解決許多難題、趣題.“正難則反”既可以培養(yǎng)學生的逆向思維能力，也可以培養(yǎng)學生對原命題與逆否命題等價轉化的應用意識.

四、實際問題與數(shù)學模型之間的轉化

數(shù)學是來源于生活的，在解決實際問題中利潤最大或花費最少等問題的時候，通常先建立函數(shù)關系式，轉化為研究函數(shù)的最值問題.

運用等價轉化思想解決數(shù)學問題，沒有固定的模式.等價轉化法是以學生熟練掌握基礎知識、基本技能和基本方法，深刻理解定理公式和法則為前提，教師在平時教學中就要注意滲透各種思想方法，引導學生在做題的時候仔細觀察比較，對典型例題多加總結和提煉，注意事物之間的聯(lián)系.在等價轉化時要注意轉化過程前后的充要性，合理地設計好轉化的途徑和方法，避免生搬硬套題型.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文