關于高中《平面向量》的教學反芻

向量作為溝通數和形的重要工具，是現代數學中的基本概念之一.用較少的課時，引入現代數學的一個重要知識，是適應時代發展對數學教學的需要，也是為學生提供一種重要的、有價值的數學工具，同時又創設了能促使學生從一種新角度來進行數學思維的情境，從而能更完整、更合理地構建學生的數學基本知識、基本技能.如何對本章進行教學呢?本文談談自己在本章教學后的一些看法，供大家參考.

本章概念及法則較多，與原學過的數的運算又不盡相同，圍繞本章的重點及難點的教學，個人認為可以從處理好以下幾個方面入手.

一、對“平面向量的實際背景及基本概念”的教學，應要求學生注意如下幾點

1.向量是區別于數量的一種量，它由兩個因素來確定——大小和方向，而數量只有大小沒有方向，如力、位移、速度、加速度等都是向量.數量之間可以比較大小，而向量中由于方向不能比較大小，因此，對于向量來說，“大于”“小于”是沒有意義的，即向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小.

2.向量在實際生活中應用很廣泛，有些向量與其起點有關，如力是作用于一定點的向量；有些向量與其起點無關.由于一切向量的共性是它們都有大小和方向，所以數學中我們只研究與起點無關的向量，即自由向量.當遇到與起點有關的向量時，可在一般原則下作特別處理（如平移向量）.

3.單位向量是模為1的向量，其坐標表示為e=(x，y)，x2+y2=1.

4.共線向量（也稱平行向量），要求是幾個非零向量的方向相同或相反，當然向量所在的直線可以平行，也可以重合.其中“共線”的含義不是平面幾何中的“共線”含義.實際上，共線向量有以下四種情況：方向相同且模相等（相等向量）；方向相同但模不等；方向相反但模相等（相反向量）；方向相反且模不等.這樣，也就找到了共線向量與相等向量的關系，即共線向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共線向量.

5.兩個向量只有當它們的模相等，同時方向又相同時，才能稱它們相等.例如，a=b，就意味著|a|=|b|，且a與b的方向相同.

由向量相等的定義可以知道，對于一個向量，只要不改變它的大小和方向，是可以平行移動的，因此，用有向線段表示向量時，可以任意選取有向線段的起點.由此可知，任意一組平行向量都可以移到同一條直線上.這為以后用向量處理幾何等問題帶來方便.

6.零向量是模等于0的向量.它與數0是有區別的，其方向可看作任意，即課本中規定零向量與任意方向的向量平行.由于零向量的特殊性，在學習中應特別注意.

7.在數學研究中，往往用有向線段來表示向量，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向.因此，也體現了數形結合的數學思想，為解決實際問題開拓了新天地.值得注意的是有向線段是向量的表示，并不是說向量就是有向線段.

二、對“平面向量的線性運算”教學中，要求學生注意以下幾點

1.向量加法的兩個法則中平行四邊形法則在物理力學中已經很熟悉.三角形法則只要記住首尾相接這一做法就可以了，把用小寫字母表示的向量用兩個大寫字母表示后，再作加法更便捷些.由于AB=-BA，把減法化為加法做更好.向量減法的實質是加法的逆運算，用有向線段表示，只要記住“連終點指向被減”就可以了.

2.當兩個非零向量a與b不共線時，a+b的方向與a，b的方向都不相同，且||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|；當a與b的方向相同時，向量a+b的方向與a，b的方向相同，且|a+b|=|a|+|b|；當a與b的方向相反，當|a|<|b|時，則a+b與b的方向相同，且|a+b|=|b|-|a|，當|a|>|b|時，則a+b與a的方向相同，且|a+b|=|a|-|b|.a-b的方向與大小，只要把-b看成上面的b就可以了.

3.以向量AB=a，AD=b為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線為AC=a+b，BD=b-a，DB=a-b，這一結論在以后應用還是非常廣泛的，應該理解并記住.

4.數乘向量應注意當λ=0時，λa=0而不等于數0.當a=0時，λa=0.數乘可以把向量a的長度擴大（當|λ|>1時），也可以把向量a的長度縮短（當|λ|<1時），同時可以不改變向量a的方向（當λ>0時），也可以改變向量a的方向（當λ<0時）.實數與向量可以求積，但是不能進行加減運算.比如λ+a，λ-a無法運算.

5.兩個向量的和、差仍然是一個向量，數乘也仍然是一個向量.加、減、數乘都有其運算律，應注意這些運算律與數的運算律的聯系與區別.

6.關于兩向量共線的判定，請注意：如果兩非零向量a，b，使a=λb(λ∈R)，那么a∥b；反之，如果向量平行，且b≠0，那么a=λb.這里的“反之”中，沒有指出a是非零向量.這就是說a=0時，與λb的方向規定為平行.

三、“平面向量的基本定理及坐標表示”的教學，要求學生掌握

1.該定理為向量的坐標表示奠定了理論基礎，當基底是e1，e2，且夾角為90°，|e1|=|e2|=1時，其中λ，μ即為向量的坐標.由于基底的方向和模各不相同，因此，可建立多種坐標系，為解決問題開拓了新的天地.

2.該定理另一層意思是可將任何一個向量在給出兩個基底e1，e2的條件下進行分解.

將e1，e2，a平移到同一起點O，分別延長e1=OA，e2=OB，過C點分別作OA，OB的平行線，交OA，OB的延長線于M，N，則有OM=λOA，ON=μOB，可得到a=λe1+μe2.

3.由該定理知，任一個平面直線型圖形都可以表示為某些向量的線性組合，這樣在證明幾何命題時，可先把已知和結論表示成向量形式，再通過向量的運算，有時能很容易證明幾何命題.因此，向量是數學中證明命題有效工具之一.

4.向量的坐標表示，實際是向量的代數表示.在引入向量的坐標表示后，即可使向量運算完全代數化，將數與形緊密地結合了起來，這樣很多幾何問題的證明就轉化為學生熟知的數量的運算，這也是中學數學課中學習向量的目的之一.對于向量的坐標運算一定要讓學生掌握.

5.要把點的坐標與向量的坐標區別開，相等的向量的坐標是相同的.而起點、終點坐標可以不同.如A(1，2)，B(3，4)，AB=(2，2)；C(-1，3)，D(1，5)，CD=(2，2).

四、在“平面向量的數量積”的教學中，要求學生注意向量運算的特征

1.理解向量夾角的概念，規定0≤θ≤π；認識向量數量積的幾何意義是：一個向量的長度乘以另一個向量在其上的射影值.注意這個射影值可正可負可以為零.所以我們說向量的數量積的結果是一個實數，不是向量.它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號由夾角的余弦值決定.

2.數量積的運算只適合交換律、加乘分配律及數乘結合律，但不適合乘法集合律.

對于實數a，b，c，有(ab)c=a(bc)，但對于向量a，b，c，有(a#8226;b)c≠a(b#8226;c).這里因為(a#8226;b)c表示一個與c共線的向量，而a(b#8226;c)表示一個與a共線的向量，而c與a一般并不共線，所以(a#8226;b)c≠a(b#8226;c).

使用運算符號時，a#8226;b中的“#8226;”要有別于數的運算中的乘號及今后要學到的向量積.

3.“如果ab=0，那么a，b中至少有一個為零”在向量中不成立.在向量中，若a#8226;b=0，可以推出以下四種情況：（1）a=0，b≠0；（2）a≠0，b=0；（3）a=0且b=0；（4）a≠0，b≠0且a⊥b.因此，a=0或b=0是a#8226;b=0的充分不必要條件.

4.“實數a，b，c，由ab=ac，a≠0推出b=c”這一性質在向量推理中不正確.如：取|a|=1，|b|=22，a與b的夾角為45°，|c|=12，a與c的夾角為0°.顯然a#8226;b=a#8226;c=12，但b≠c.

5.由于數量積的學習，一些比較靈活的題目開始出現，因此，對一些性質應牢牢掌握，如a2=|a|2，cosθ=a#8226;b|a|#8226;|b|，a#8226;b=0a⊥b等，用它們可以解決有關的長度、角度、垂直的問題.

6.利用數量積可判斷兩個向量是否垂直，判斷由向量圍成的三角形類型.這些判斷需在非零向量的前提下，也要注意邏輯推理過程.

7.由于引入坐標，向量的長度、兩向量平行、垂直的條件也可以用坐標表示，求兩向量夾角也可以用坐標表示：

設a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，θ為夾角，則

|a|=x21+y21，

a∥bx1y2-x2y1=0，

a⊥bx1x2+y1y2=0，

cosθ=x1x2+y1y2x21+y21#8226;x22+y22.

五、在“平面向量應用舉例”的教學中，要求掌握平面向量作為工具解決實際問題

1.平面向量在平面幾何中的應用：（1）證明線段相等、平行，常用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時也用到向量減法的定義；（2）證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線（或線段）是否平行，常用向量平行（共線）的條件，a∥bx1y2-x2y1=0；（3）證明垂直問題，常用向量垂直的充要條件，a⊥bx1x2+y1y2=0；求夾角問題，常用夾角公式cosθ=x1x2+y1y2x21+y21#8226;x22+y22.

2.平面向量在物理幾何中的應用，主要解決：向量的加法與減法在力的分解與合成中的應用；向量在速度的分解與合成中的應用.

另外，在《平面向量》整章的教學中要貫穿數學思想方法的教學，數形結合的思想、分類討論的思想與轉化歸納的思想都是平面向量學習中的重要思想.

以上是我對《平面向量》的教學反芻，與同行探討.

【參考文獻】

［1］數學必修4教師教學參考（普通高中課程標準）.人民教育出版社.

［2］數學必修4（普通高中課程標準實驗教科書）.人民教育出版社.

［3］吳汝龍.關于高中新教材《平面向量》的教學設想.江西：中學數學研究，2003（6）.

［4］韓相河，劉紓珮.平面向量.山東教育出版社，2001.

［5］孫豐良.平面向量.延邊大學出版社，2002.

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