二元三次不定方程ax³+by²=n整數(shù)解的初等解法

形如ax3+by2=n(a，b，n，x，|y|∈N)（1）的二元三次不定方程，迄今為止，還沒(méi)有它的一般解法，本文將給出這類(lèi)不定方程的初等解法.

我們約定，把正整數(shù)集合記作N.

定理 解方程（1），把滿(mǎn)足x≤3n-ba（2）的x值代入|y|=n-ax3b（3）中，當(dāng) n-ax3b∈N時(shí)，則得方程（1）的兩組整數(shù)解（x0，y0），（x0，-y0）.

證明 由（1），得|y|=n-ax3b.當(dāng) n-ax3b∈N時(shí)，推得n-ax3b≥1，n-ax3≥b，x3≤n-ba，x≤3n-ba，［x］=x，x≤3n-ba，可知x為不超過(guò) 3n-ba的正整數(shù)，把這樣的x值代入（3）中，有某個(gè)x0值，使 n-ax30b=y0∈N，則得方程組(1)的兩組整數(shù)解（x0，y0），（x0，-y0）.

例1 解不定方程3x3+4y2=124.

解 a=3，b=4，n=124，x≤3n-ba=3124-43=［340］=［3.42］=3，x=1，2，3.

當(dāng)x=3時(shí)，代入(3)，|y|＝124-3×334=434N；

當(dāng)x=2時(shí)，代入(3)，|y|＝124-3×234=5∈N，得兩組解(2，5)，（2，-5）；

當(dāng)x=1時(shí)，代入(3)，|y|＝124-3×134=112N.

故原方程只有兩組整數(shù)解(2，5)，（2，-5）.

例2 解不定方程3x3+y2=84.2.

解 原方程化為15x3+5y2=421，a=15，b=5，n=421，

x≤3n-ba=3421-515=［327.73］=［3.027］=3，x=1，2，3.

當(dāng)x=3時(shí)，代入（3），|y|＝n-ax3b＝421-15×335＝165＝4∈N，得兩組解(3，4)，（3，-4）；

當(dāng)x=1，2時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證|y|＝n-ax3bN.

故原方程只有兩組整數(shù)解(3，4)，（3，-4）.

例3 解方程4x3+7y2=7087.

解 a=4，b=7，n=7087.

x≤37087-74=［12.10］=12，x=1，2，3，…，12.

當(dāng)x=12時(shí)，|y|＝n-ax3b＝7087-4×1237＝5∈N，得原方程的兩組解(12，5)，（12，-5）；

當(dāng)x=10時(shí)，|y|＝n-ax3b＝7087-4×1037＝441＝21∈N，又得兩組解(10，21)，（10，-21）；

當(dāng)x=1，2，3，…，11時(shí)，都有|y|=n-ax3b=7087-4×x37N.

故原方程有四組整數(shù)解(12，5)，（12，-5），(10，21)，（10，-21）.

推論 滿(mǎn)足不等式x≤3n-ba的所有x值，使n-ax3bN，則方程（1）沒(méi)有整數(shù)解.

例4 解不定方程5x3+6y2=328.

解 a=5，b=6，n=328，

x≤3n-ba=3328-66=［364.4］=［4.01］=4，x=1，2，3，4.

當(dāng)x=4時(shí)，代入（3），|y|＝n-ax3b＝328-5×436＝86N；

當(dāng)x=3時(shí)，代入（3），|y|＝n-ax3b＝328-5×336＝1936N；

當(dāng)x=2時(shí)，代入（3），|y|＝n-ax3b＝328-5×236＝48N；

當(dāng)x=1時(shí)，代入（3），|y|＝n-ax3b＝328-5×136＝3236N.

故原方程沒(méi)有整數(shù)解.

解不定方程（1）的思想方法，是把x圈在某一個(gè)正整數(shù)范圍內(nèi)，即x∈{1，2，…，3n-ba}，取x值，一般從大到小，把x值代入原方程，便可求出y來(lái)，當(dāng)求得y0=n-ax30b∈N，便找到了方程（1）的兩組整數(shù)解（x0，y0），（x0，-y0），其解并不唯一.這里需要用到計(jì)算器，求立方根、平方根，計(jì)算有限個(gè)y值.盡管計(jì)算麻煩些，總比沒(méi)有辦法求解好.

【參考文獻(xiàn)】

［1］華羅庚.數(shù)論導(dǎo)引.北京：科學(xué)出版社，1978.

［2］柯召，孫琦.談?wù)劜欢ǚ匠?上海：上海教育出版社，1980.

［3］陳景潤(rùn).初等數(shù)論（1）.北京：科學(xué)出版社，1978.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文