從一道中考題談數學應用性問題

【摘要】數學應用性問題作為各地中考數學試題改革的亮點之一，備受廣大教師和學生的關注和重視.本文通過對一道中考題的分析，提出了數學應用性問題具有背景材料寬泛、類型多樣化和對學生綜合能力要求高等主要特點，并提出教學建議與思考.

【關鍵詞】中考；數學；應用性問題

近些年來，數學應用性問題作為各地中考數學試題改革的亮點之一，備受廣大教師和學生的關注和重視.

一、對一道中考應用題的剖析

（2010年河北省中考壓軸題）某公司銷售一種新型節能產品，現準備從國內和國外兩種銷售方案中選擇一種進行銷售.若只在國內銷售，銷售價格y（元/件）與月銷量x（件）的函數關系式為y=-1100x+150，成本為20元/件，無論銷售多少，每月還需支出廣告費62500元，設月利潤為w內（元）（利潤=銷售額-成本-廣告費）.若只在國外銷售，銷售價格為150元/件，受各種不確定因素影響，成本為a元/件（a為常數，10≤a≤40），當月銷量為x（件）時，每月還需繳納1100x2元的附加費，設月利潤為w外（元）（利潤=銷售額-成本-附加費）.

（1）當x=1000時，y=元/件，w內=元.

（2）分別求出w內，w外與x間的函數關系式（不必寫x的取值范圍）.

（3）當x為何值時，在國內銷售的月利潤最大？若在國外銷售月利潤的最大值與在國內銷售月利潤的最大值相同，求a的值.

（4）如果某月要將5000件產品全部銷售完，請你通過分析幫公司決策，選擇在國內還是在國外銷售才能使所獲月利潤較大？

此題是以商品銷售利潤為背景的函數類應用題，文字篇幅較長，具有較強的綜合性.突破此題的關鍵是能夠通過對各個常量、變量之間關系的剖析，將實際問題轉化為數學問題，建立函數模型.這個過程對學生能力要求較高，需要學生具有一定的生活經驗和較強的思維能力.當然，在解答過程中，因為涉及二次函數解析式的確定、最值的求法以及借助函數求值進行決策分析，對學生的運算能力也有較高的要求.

學生在解答此題時，部分學生往往會因題目篇幅長，文字閱讀量大，出現畏難情緒，放棄對本題的解答；或因題目給出的變量與常量較多并且關系錯綜復雜，審題不清，運用時出現“張冠李戴”的現象；還有的學生會因對利潤的概念理解不透，建立函數關系時出現錯誤；此外還有計算出現錯誤的情況.此題最大的難點當屬第（4）小題的決策分析，即在推算出“當x=5000時，w內=337500，w外=-5000a+500000”后，無法將決策問題轉化為不等式來解決:“若w內<w外，得a<32.5；若w內=w外，得a=32.5；若w內>w外，得a>32.5”，從而得出決策結果：“當10≤a＜32.5時，選擇在國外銷售；當a=32.5時，在國內銷售和國外銷售都一樣；當32.5＜a≤40時，選擇在國內銷售.”

二、中考數學應用性問題的主要特點

前面所分析的試題，在眾多中考數學應用題中具有一定的代表性.通過對近幾年中考試題的分析，筆者發現數學應用性問題大體上具有以下幾個特點：

1.背景材料寬泛

通過命題人員積極的探索和大膽的嘗試，中考數學應用性問題的背景材料越來越寬泛，涉及現代社會中的日常生活、生產實踐、經濟活動以及現代科技等領域.如：商品營銷中的打折問題、利率問題，電話費、水電費、出租車費、稅費等收費問題，選擇最佳方案的問題，以及安全生產與生活問題等，素材豐富，體現出現實性、時代性、思想性和綜合性.

2.立意新穎，類型多樣化

代數型應用題主要包括方程（組）類、不等式（組）類、統計類和函數類等幾種類型，幾何型應用題主要包括解直角三角形類、特殊四邊形類和正多面體類等幾種類型.題目類型體現多樣化，并且大多數題目中的問題設計新穎，給人以美不勝收的感覺.

3.對學生綜合能力要求高

一是要過“閱讀關”.許多中考數學應用性問題所涉及的純數學知識并不難，但由于題目篇幅較長，閱讀量大，需要學生具有一定的閱讀理解能力，能快速地通過閱讀，搜集與提煉出關鍵性的信息.當然，學生的生活常識以及基本的社會經驗，對理解題意也是至關重要的.

二是要過“轉化關”.要求學生能夠在閱讀的基礎上，用數學的視覺對搜集到的信息進行分析、概括與聯想，建構數學模型，把實際問題轉化為數學問題，這是解數學應用性問題的核心.

三是要過“解答關”.能夠熟練運用所學的數學知識、數學思想方法及解題經驗解決對應的數學問題，并回頭審視答案的合理性，使應用問題得以圓滿解決.

三、教學建議與思考

1.平時教學中，要重視學生的閱讀訓練，使他們逐步形成一定的閱讀分析能力，能夠在復雜的問題情境中抓住關鍵性語句和具體的數據信息，并通過對信息的分析與提煉，將實際問題轉化為數學問題來解決.

2.平時教學中，要多給學生提供貼近他們的現實生活、貼近當今社會生產實踐的學習活動素材，豐富他們的生活經驗和社會實踐經驗，拓展他們的視野，引導他們關心自己身邊的數學問題，學會用數學的眼光去觀察生活，切實把“數學生活化”、“ 生活數學化”的理念落實到平時教學中，強化學生的應用意識.

3.平時教學中，要結合教學內容，設計不同類型的應用性問題，加強對應用性問題的訓練，努力體現“從問題情境出發、建立模型、尋求結論、應用與推廣”的基本過程，通過觀察、操作、思考、交流等一系列活動，讓學生在現實情境中理解數學、體驗數學知識，拓展學生的解題思路，豐富解題經驗，逐步提高解題能力.

【參考文獻】

劉兼，孫曉天.數學課程標準解讀（實驗稿）.北京：北京師范大學出版社.

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