一道不等式證明題的多種解法

【摘要】隨著素質(zhì)教育的深入，社會(huì)對(duì)教師教學(xué)的要求也越來越高了.怎樣才能在短短的課堂45分鐘時(shí)間內(nèi)拓展學(xué)生的思維，提高課堂效率呢?筆者認(rèn)為在數(shù)學(xué)教學(xué)中，一題多解不失為一個(gè)好辦法.因?yàn)橐活}多解能夠激發(fā)學(xué)生的思維活動(dòng)，能夠讓學(xué)生化被動(dòng)為主動(dòng)，化呆板為靈動(dòng)地學(xué)習(xí).不等式這一知識(shí)點(diǎn)在高中數(shù)學(xué)中涉及的面比較廣，應(yīng)用比較靈活，再加上它的抽象性，讓許多同學(xué)望不等式而生畏.以下略舉一例，希望能起到拋磚引玉的作用，讓廣大同行們?cè)诮虒W(xué)過程中拓展和發(fā)散學(xué)生的思維方面有所啟發(fā).

【關(guān)鍵詞】素質(zhì)教育；課堂效率；數(shù)學(xué)思維

題目 已知a，b，c∈R+，求證:ab+c+ba+c+ca+b≥32.

分析 此題比較抽象，條件非常簡單，把很多同學(xué)難倒了.這時(shí)，我們不妨引導(dǎo)學(xué)生抓住a，b，c∈R+這一條件，在不等式中，均值不等式里強(qiáng)調(diào)了這個(gè)條件，所以我們不妨用均值不等式試一試.

證明 方法一：均值不等式

原式=a+b+cb+c+a+b+ca+c+a+b+ca+b-3

=(a+b+c)1b+c+1a+c+1a+b-3

=12［(b+c)+(a+c)+(a+b)］#8226; 1b+c+1a+c+1a+b-3

≥12#8226;33(b+c)(a+c)(a+b)#8226; 331b+c+1a+c+1a+b-3

=92-3=32.

分析 盡管柯西不等式是我們新課改中新添的內(nèi)容，可是它的用處卻不容忽視，它的應(yīng)用非常廣泛，它的最大特點(diǎn)是與平方和有關(guān)，雖然題目中沒有出現(xiàn)平方，但是在正數(shù)的條件下，我們是可以自己創(chuàng)造平方的，這樣就出現(xiàn)了平方和，形式上就與柯西不等式一致了.

方法二：柯西不等式

原式=a+b+cb+c+a+b+ca+c+a+b+ca+b-3

=12［(b+c)+(a+c)+(a+b)］#8226; 1b+c+1a+c+1a+b-3

=12［(b+c)2+(a+c)2+(a+b)2］#8226; 1b+c2+1a+c2+1a+b2-3

≥12(1+1+1)2-3=32.

方法三：綜合法

ab+c=2a+b+c2(b+c)-12，①

ba+c=2b+a+c2(a+c)-12，②

ca+b=2c+a+b2(a+b)-12，③

①+②+③，得

ab+c+ba+c+ca+b

=12a+bb+c+b+ca+b+a+cb+c+b+ca+c+a+ba+c+a+ca+b-32

≥62-32=32.

方法四：綜合法

∵2ab+c+2ba+c+2ca+b

=2a+b+cb+c+2b+a+ca+c+2c+a+ba+b-3

=a+bb+c+b+ca+b+a+cb+c+b+ca+c+a+ca+b+a+ba+c-3

≥2+2+2-3=3，

∴ab+c+ba+c+ca+b≥32.

此種方法對(duì)學(xué)生的觀察分析及綜合能力都要求比較高，要有一定的數(shù)學(xué)功底才能把它“湊”出來.

方法五：換元法

令x=b+c，y=a+c，z=a+b且x>0，y>0，z>0，則

a=-x+y+z2，b=x-y+z2，c=x+y-z2.

原式=-x+y+z2x+x-y+z2y+x+y-z2z

=12yx+xy+zx+xz+zy+yz-32

≥12×6-32=32.

此種方法不失為一種好方法，換元法是我們數(shù)學(xué)中常用的方法，教師稍加啟發(fā)，學(xué)生便能證出，而且較易掌握，對(duì)于學(xué)生以后的學(xué)習(xí)是大有幫助的.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文