淺談轉化與化歸的數學思想方法在高考數學中的應用

摘要：解題的過程實際就是轉化的過程。應用化歸與轉化的思想，運用數學變換的方法去靈活地解決有關的數學問題，是提高思維能力的有效保證。

關鍵詞：轉化與化歸 高考數學應用

化歸與轉化的思想就是將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、聯想、類比等思維過程，選擇恰當的方法進行變換，化歸為在已知知識范圍內已經解決或容易解決的問題的數學思想。化歸與轉化的思想是解決數學問題的根本思想，解題的過程實際就是轉化的過程。數學中的轉化比比皆是，常用的化歸與轉化方法有等價變換、數形結合法、函數與方程的思想、換元法、反證法、特殊值法等。如：未知向已知的轉化，命題之間的轉化，數與形的轉化，空間向平面的轉化，高維向低維的轉化，多元向一元的轉化，高次向低次的轉化等，都是轉化思想的體現。下面結合例題談一談如何實現數學問題的轉化。

1 利用等價轉化的思想來實現轉化

在數學中存在許許多多具有等價性的問題，“恒等變形”是解題的最基本的方法，如解方程和不等式的過程本身就是一個等價轉化的過程。

例1、（2003年全國高考）已知c＞0。設P函數y=cx在R上單調遞減。Q：不等式x+|x-2c|>1的解集為R。如果P和Q有且僅有一個正確，求c的取值范圍。

分析：“P和Q有且僅有一個正確”等價于“P正確且Q不正確”或“P不正確且Q正確”，所以應先求出P和Q分別正確時的解集，再用集合間的關系來運算。

解：∵P：函數y=cx在R上單調遞減?圳0

Q：不等式x+|x-2c|>1的解集為R

?圳函數y=f(x)=x+|x-2c|在R上恒大于1。

∴函數y=f(x)=x+|x-2c|在R上的最小值為2c。

∴不等式x+|x-2c|>1的解集為R?圳2c>1?圳c>■。

∴如果P正確且Q不正確，則0

如果P不正確且Q正確，則c≥1所以c的取值范圍為(0，■]∪[1，+∞)。

2 利用反證法的思想來實現轉化

如果一個命題從正面解決不好入手或比較麻煩，可以從命題的反面入手來解決。如：證明命題的唯一性、無理性，或所給的命題以否定形式出現（如：不存在、不相交等），并伴有“至少”“不都”“都不”“沒有”等指示性詞語時，均可考慮用反證法的思想來實現轉化。反證法是數學解題中逆向思維的直接體現。

例2、已知下列三個方程：x2+4ax-4a+3=0，x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0中，至少有一個方程有實根，求實數a的取值范圍。

分析：此題若采用正面討論，則必須分成“有且只有一個方程有實根”，“有兩個方有實根”和“三個方程全部有實根”三種不同情況來討論，求解過程將會非常復雜。所以，應采用補集和反證法的思想來求。

解：若方程沒有一個有實根，則有

解之得：-■

∴滿足三個方程至少有一個方程有實根的a的解集是{a|a≥-1，或a≤-■}。

3 用數形結合的思想來實現轉化

數形結合的思想就是把問題的數量關系和空間形式結合起來加以考察的思想，其實質就是把抽象的數量關系和直觀的圖形結合起來，從而降低原命題的難度，使問題容易得到解決。

例3、如果實數x，y滿足(x-2)2+y2=3，那么■的最大值是（）

A.■B.■C.■D.■

分析：由于方程(x-2)2+y2=3表示的曲線以A(2，0）為圓心，以 ■為半徑的圓（如右圖所示），滿足方程的x，y是圓上的點P(x，y)；而■是坐標原點(0，0）與圓上各點連線的斜率，所以題目可轉化為求原點(0，0）與圓上各點連線的斜率的最大值。結合圖像，易知直線y=kx與圓(x-2)2+y2=3相切的時候，直線OP的斜率k就是所求斜率的最大值。

解：∴|AP|=■，|OP|=2?圯∠POA=■∴tan∠POA=■

即所求■的最大值是■，故選D。

4 利用函數與方程的思想來實現轉化

函數與方程的思想是求數量關系的主要思想方法。一個數學問題，如能建立描述其數量特征的函數表達式，或列出表示其數量關系的方程式（組）（包括不等式（組）），則一般可使問題得到解答。

例4、已知平行四邊形ABCD中，點A，C的坐標分別為（-1，3），（-3，2），點Ｄ在橢圓■+■=1上移動，求點B的軌跡方程。

分析：因為平行四邊形的對邊平行且相等，所以可以將本題轉化為相等向量的性質來求解。

解：設B，Ｄ的坐標分別為（x，y）（a，b）則■=(a+3，b-２)，■=(-1-x，3-y)

∵在平行四邊形ABCD中，■=■

∴(a+3，b-２)=(-1-x，3-y)

∴a=-4-x，b=5-y∵點D在橢圓上，

∴把D點坐標(-4-x，5-y)代入橢圓方程中，即得點B的軌跡方程：■+■=1

5 利用換元法的思想來實現轉化

對結構較為復雜，量與量之間的關系不甚明了的命題，通過適當的引入新變量（換元），往往可以簡化原有結構，使其轉化為便于研究的形式。常用的換元法有代數代換、三角代換、整體代換等。在應用換元法時要特別注意新變量的取值范圍，即代換的等價性。

例5、（2004年高考廣西理科）解方程：4x+|1-2x|=11

分析：若令t=2x，（t>0），則原方程可轉化為求含絕對值的二次方程的解。

解：令t=2x，（t>0），原方程可化為：t2+|1-t|=11

①當t≥1（即x≥0）時，方程可化為：t2+t-1=11?圳t2+t-12=0

解之得：t=3，或t=-4（不舍題意，舍去） ∴2x=3?圳x=log23

②當0

解之得：t=■+■>1或t=■-■<0（均不舍題意，舍去）。

所以，原方程的解為x=log23

6 利用特殊化的思想來實現轉化

數學充滿著辯證法，一般性往往寓于特殊性之中。解題時，將一般問題特殊化和將特殊問題一般化是常用的兩種策略。

例6、（2001年全國高考）一間民房的屋頂有如下圖三種不同的蓋法：

①單向傾斜；②雙向傾斜；③四向傾斜。記三種蓋法屋頂面積分別為P1、P2、P3。若屋頂斜面與水平面所成的角都是α，則（）

(A)P3=P2>P1(B)P3>P2=P1 (C)P3>P2>P1(D)P3=P2=P1

分析：由射影面積公式（S射=S斜cosα）可知：S射與斜面和水平面所成角α有關與斜面內圖形形狀及圖形放置無關。所以可以抓住“所成角都是α”及“射影面積（民房面積）不變”，取特值α=0，就將三種不同的房蓋均變成平房蓋，而同一間民房的面積全部相同，從而得解。

解：令α=0，即可知選D。

當然，除了上述常用方法外，數學解題中還存在其它的轉化方法，由于本文篇幅有限，這里就不一一舉例。

總而言之，化歸與轉化的思想具有靈活性和多樣性的特點，沒有統一的模式可遵循，需要依據問題本身提供的信息，利用動態思維，去尋找有利于問題解決的變換途徑和方法，所以學習和熟悉化歸與轉化的思想，有意識地運用數學變換的方法，去靈活地解決有關的數學問題，將有利于提高解決數學問題的應變能力和技能、技巧。