周期數(shù)列周期數(shù)列

【摘要】本文應(yīng)用初等函數(shù)表示周期為2和3的數(shù)列，然后將周期擴展到任意正整數(shù).

【關(guān)鍵詞】周期數(shù)列；通項公式

定義1 對于數(shù)列{an}，若存在T，N0∈N，使任意的自然數(shù)n≥N0有an+T=an，則稱{an}為周期數(shù)列，T稱為an的一個周期.顯然周期數(shù)列必有最小正周期，我們通常稱最小正周期為周期.

引理1 周期數(shù)列{an}={-1，1，-1，1，…}的通項公式為an=(-1)n-1.

證明 ∵該數(shù)列是等比數(shù)列，首項和公比都是-1，

∴根據(jù)等比數(shù)列的定義，an=(-1)n-1.

an=a+c-2b[]6·2sin2(n-2)π[]32+c-a[]23·2sin2(n-2)π[]3+b.

對于以任意正整數(shù)為周期的數(shù)列，是否有初等函數(shù)式的通項表示呢？

這種表示是存在的，但是并不適合用sin(x)來表示，因為在一個周期內(nèi)，正弦函數(shù)容易出現(xiàn)相同的項.而在一個周期內(nèi)，正切函數(shù)是單調(diào)遞增的，不會出現(xiàn)相同的項，所以可以用tan(x)來實現(xiàn).

引理3 對任意的自然數(shù)m，存在一個數(shù)列{φn}以m為周期.

證明 取θ1∈-π[]2，-π[]2+π[]m，公差d=π[]m.

數(shù)列{φn}={tan(θ1+(n-1)d)}=tanθ1+(n-1)π[]m是以m為周期的數(shù)列.

即{φn}=-3，3-2，3[]3，2+3，-3，3-2，3[]3，2+3，….

對于初高中的同學而言，定理2的應(yīng)用價值是比較大的.而定理3的價值主要體現(xiàn)在理論層面，它更多的是具有理論意義，主要用于培養(yǎng)學生的興趣.

【參考文獻】

北京大學數(shù)學力學系.高等代數(shù)［M］.北京:人民教育出版社，1978.