含參數(shù)不等式恒成立問題淺探

【摘要】恒成立問題多與參數(shù)的取值范圍問題聯(lián)系在一起，是近幾年高考的一個(gè)熱門題型，它以“參數(shù)處理”為主要特征，與函數(shù)、數(shù)列、方程、幾何結(jié)合起來通過化歸到函數(shù)來處理.

【關(guān)鍵詞】參數(shù)；恒成立；轉(zhuǎn)化

一、分離參數(shù)法

當(dāng)不等式中的參數(shù)（或關(guān)于參數(shù)的代數(shù)式）能夠與其他變量完全分離出來，且分離后不等式另一邊的函數(shù)（或代數(shù)式）的最值可求時(shí)，常用分離參數(shù)法.

例1 設(shè)函數(shù)f(x)=ax2－3x+1對(duì)于x∈［－1，1］總有f(x)≥0成立，求a的取值范圍.

解析 對(duì)于x∈［－1，1］，ax2－3x+1≥0，

故ax2≥3x－1，當(dāng)x=0時(shí)顯然成立；

若x不為0，則有a≥3x－1[]x2=3[]x－1[]x2=9[]4－1[]x－3[]22.

設(shè)t=1[]x，則t∈(－∞，－1］∪［1，+∞)；

再設(shè)g(t)=9[]4－t－3[]22.g(t)的圖像是一開口向下的拋物線，在t=3[]2時(shí)取最大值.

故g(t)≤g3[]2=9[]4，也就是說對(duì)于x∈［－1，1］且x≠0，3x－1[]x2≤9[]4.∴a≥9[]4.

點(diǎn)評(píng) 此類問題可把要求的參變量分離出來，單獨(dú)放在不等式的一側(cè)，將另一側(cè)看成新函數(shù)，于是問題轉(zhuǎn)化成新函數(shù)的最值問題：若對(duì)于x取值范圍內(nèi)的任一個(gè)數(shù)都有f(x)≥g(a)恒成立，則g(a)≤f(x)min；若對(duì)于x取值范圍內(nèi)的任一個(gè)數(shù)都有f(x)≤g(a)恒成立，則g(a)≥f(x)max.

二、更換主元法

在解決不等式恒成立問題時(shí)，一種重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)解決問題，同時(shí)注意在一個(gè)含多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問題中，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化.

例2 已知對(duì)于任意的a∈［-1，1］，函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立，求x的取值范圍.

解析 本題按常規(guī)思路是按x的二次函數(shù)解決，但不容易求x的取值范圍.因此，我們不能總是把x看成是自變量，也可以把a(bǔ)看成參數(shù)，我們可以通過變量轉(zhuǎn)換，f（x）=x2+(a-4)x+4-2a=（x-2)a+x2-4x+4可看作關(guān)于a的一次函數(shù)，當(dāng)x=2時(shí)，f(x)=（x-2)a+x2-4x+4=0，不滿足題意，因此x≠2.要想使對(duì)任意a∈［-1，1］，函數(shù)f(x)=(x-2)a+x2-4x+4>0恒成立，只需-（x-2)+x2-4x+4>0或（x-2)+x2-4x+4>0，分別解這兩個(gè)不等式，然后取交集得：x<1或x>3.所以x的取值范圍為（-∞，1）∪（3，+∞）.

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于含有兩個(gè)參數(shù)，且已知一參數(shù)的取值范圍，可以通過變量轉(zhuǎn)換，構(gòu)造以該參數(shù)為自變量的函數(shù)，利用函數(shù)圖像求另一參數(shù)的取值范圍.

三、數(shù)形結(jié)合法

如果不等式中涉及的函數(shù)、代數(shù)式對(duì)應(yīng)的圖像、圖形較易畫出時(shí)，可通過圖像、圖形的位置關(guān)系建立不等式求得參數(shù)范圍.

例3 已知函數(shù)y=f(x)=3x+6，x≥-2，

-6-3x，x<-2，

若不等式f(x)≥2x-m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

解析 在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=2x-m及y=f(x)的圖像，由于不等式f(x)≥2x-m恒成立，所以函數(shù)y=2x-m的圖像應(yīng)總在函數(shù)y=f(x)的圖像下方，因此，當(dāng)x=-2x時(shí)，y=-4-m≤0，所以m≥-4，故m的取值范圍是［-4，+∞).

點(diǎn)評(píng) 不等式問題經(jīng)常要結(jié)合函數(shù)的圖像，根據(jù)不等式中量的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)函數(shù)，利用函數(shù)圖像的上、下位置關(guān)系來確定參數(shù)的范圍.利用數(shù)形結(jié)合解決不等式問題關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，準(zhǔn)確做出函數(shù)的圖像.

四、最值法

恒成立問題多與參數(shù)的取值范圍問題聯(lián)系在一起，是近幾年高考的一個(gè)熱門題型，它以“參數(shù)處理”為主要特征，以“導(dǎo)數(shù)”為主要解題工具，往往與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等有關(guān)，所以解題時(shí)要善于將這類問題與函數(shù)最值聯(lián)系起來，通過函數(shù)最值求解相關(guān)問題.

例4 已知兩個(gè)函數(shù)f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中k為實(shí)數(shù).若對(duì)任意的x∈［-3，3］，都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范圍.

解析 令F(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k，問題轉(zhuǎn)化為F(x)≥0在x∈［-3，3］上恒成立，即F(x)min≥0即可，因?yàn)镕′(x)=6x2-6x-12=6(x2-x-2)，由F(x)=0，得x=2或x=-1，所以F(-3)=k-45，F(xiàn)(3)=k-9，F(-1)=k+7，F(xiàn)(2)=k-20，所以F(x)min=k-45，由k-45≥0，解得k≥45.

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)問題，可以利用求函數(shù)最值的方法，只要利用f(x)>m恒成立f(x)min>m，f(x)

不等式恒成立問題，因題目涉及知識(shí)面廣、解題方法靈活多樣、技巧性強(qiáng)、難度大等特點(diǎn)，要求有較強(qiáng)的思維靈活性和創(chuàng)造性、較高的解題能力，上述方法是比較常用的.但因?yàn)閱栴}形式千變?nèi)f化，考題亦?？汲Ｐ拢虼嗽趥淇嫉母鱾€(gè)階段都應(yīng)滲透恒成立問題的教與學(xué)，在平時(shí)的訓(xùn)練中不斷領(lǐng)悟和總結(jié)，教師也要介入心理輔導(dǎo)和思想方法指導(dǎo)，從而促使學(xué)生在解決此類問題的能力上得到改善和提高.