例談恒成立問題求解若干法

現(xiàn)在的高考越來越注重對學(xué)生的綜合素質(zhì)的考查，在出題思路上，數(shù)學(xué)試卷將特別加強對于考生應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)，恒成立問題便是一個考查學(xué)生綜合素質(zhì)很好的途徑，它主要涉及一次函數(shù)、二次函數(shù)等函數(shù)的性質(zhì)、圖像，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用，各類考試以及高考中都屢見不鮮且其形式逐漸多樣化，但都與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)知識密不可分.如何更好地簡單、準(zhǔn)確，快速解決這類問題并更好地認(rèn)識把握，本文通過舉例說明歸納了這類問題的八種主要求解方法.

一、利用函數(shù)性質(zhì)直接分類討論

f(x)>0恒成立f(x)min>0（注：若f(x)的最小值不存在，則f(x)>0恒成立f(x)的下界大于0）；f(x)<0恒成立f(x)max<0（注：若f(x)的最大值不存在，則f(x)<0恒成立f(x)的上界小于0）

二、數(shù)形結(jié)合，直觀處理

例1 不等式ax≤x(4-x)在x∈［0，3］內(nèi)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解 畫出兩個函數(shù)y=ax和y=x(4-x)

在x∈［0，3］上的圖像，如圖.

當(dāng)x=3時，y=3，a=3[]3.

當(dāng)a≤3[]3，x∈［0，3］時總有ax≤x(4-x)，所以a≤3[]3.

三、分離參數(shù)，借助不等式性質(zhì)解決

例2 設(shè)a>b>c，n∈N*，且1[]a-b+1[]b-c≥n[]a-c恒成立，求n的最大值.

分析 由于不等式等價于(a-c)1[]a-b+1[]b-c≥n，要使原不等式恒成立，

就要使(a-c)1[]a-b+1[]b-c的最小值不小于n.

解 ∵a>b>c，

∴(a-c)1[]a-b+1[]b-c=(a-c)·b-c+a-b[](a-b)(b-c)=(a-c)2[](a-b)(b-c)=［(a-b)+(b-c)］2[](a-b)(b-c)≥［2(a-b)(b-c)］2[](a-b)(b-c)=4.

∴n≤4.又∵n∈N*，則n的最大值為4.

四、變換主次元，利用單調(diào)性

某些含參不等式恒成立問題，在分離參數(shù)時會遇到討論的麻煩或者即使能容易分離出參數(shù)與變量，但函數(shù)的最值卻難以求出時，可考慮變換思維角度.即把主元與參數(shù)換個位置，再結(jié)合其他知識，往往會取得出奇制勝的效果.