2011年江蘇高考數(shù)學(xué)卷第20題別解及反思

今年江蘇省高考數(shù)學(xué)卷最后一題的第（2）問難度很大，標(biāo)準(zhǔn)解答從數(shù)列的遞推關(guān)系入手作出來的解答關(guān)系式很多，粗看有點(diǎn)令人生畏.本文從一般與特殊的關(guān)系入手，考察數(shù)列的前幾項(xiàng)來解決此題，并對(duì)此解法進(jìn)行反思，發(fā)現(xiàn)此解法植根于日常教學(xué).

解后反思 的確此題很難，難在何處？題目本身用集合語(yǔ)言對(duì)問題進(jìn)行描述，難以把握題意，而且即使理解了題目意思，若用代數(shù)推理的方法得數(shù)列的遞推關(guān)系來解決需要反復(fù)迭代導(dǎo)致關(guān)系式過多，難以理清其關(guān)系.數(shù)列問題就是研究一列數(shù)的規(guī)律性，別解從特殊項(xiàng)入手，先得到a5，a6，a7，a8，a9，…成等差數(shù)列，再逐步得出{an}成等差數(shù)列，在探索中問題逐步得到解決.若從別解角度看，應(yīng)該說本題很好地考查了學(xué)生探索問題的能力，而絕非冷冰的演繹推理.

此題的方法與思路，平時(shí)教學(xué)沒有滲透與涉及嗎？不！下面看幾道平日教學(xué)過程中的常見問題.

1.（還貸問題，蘇教版必修5課本第52頁(yè)例5）某人從2004年初向銀行申請(qǐng)個(gè)人住房公積金貸款20萬(wàn)元用于購(gòu)房，貸款的月利率為3.375%，并按復(fù)利計(jì)算.每月等額還貸一次，并從貸款后的次月開始?xì)w還.如果10年還清，那么每月應(yīng)還貸多少元？

分析 此題課本是畫了一個(gè)還貸示意圖，然后列出了一個(gè)一般的關(guān)系式，學(xué)生可能難以理解.如果我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)問學(xué)生，若2年還清呢？3年呢？……然后再讓學(xué)生列出10年還清的關(guān)系，進(jìn)而還可以列出n年還清的關(guān)系式，一切都容易理解.其實(shí)就是通過特殊項(xiàng)去探索數(shù)列的規(guī)律把問題解決的.

2.（等差數(shù)列和的規(guī)律的探索，蘇教版必修5課本第44頁(yè)第11題）如果等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，那么S10，S20-S10，S30-S20是否成等差數(shù)列？你能得到更一般的結(jié)論嗎？

分析 在“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”這一節(jié)重點(diǎn)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，但是解此題我們一定要用公式來解嗎？我們用項(xiàng)表示更簡(jiǎn)單，也更有探索的味道.

S10=a1+a2+…+a10，

S20-S10=a11+a12+…+a20，

S30-S20=a21+a22+…+a30，

顯然S10，S20-S10，S30-S20是成等差數(shù)列的.這一方法的運(yùn)用遠(yuǎn)比知道這個(gè)結(jié)論后去套用結(jié)論解題帶來的簡(jiǎn)便有意思，也更有價(jià)值.

如果改為“Sm，S2m-Sm，S3m-S2m(m∈N*)是否成等差數(shù)列”用公式解決就更復(fù)雜了，而用上述項(xiàng)表示出和來解決，結(jié)論顯而易見，而且知道Sm，S2m-Sm，S3m-S2m這個(gè)等差數(shù)列的公差為原來等差數(shù)列{an}公差的m2倍.

數(shù)列是數(shù)學(xué)中很有意思的一塊內(nèi)容，因?yàn)樗歉挥幸?guī)律的探索，而不是繁雜的推理與計(jì)算.即便是計(jì)算問題，怎么算又是一個(gè)值得研究的問題.計(jì)算不是簡(jiǎn)單地套公式而后解方程，應(yīng)該思考怎樣算更簡(jiǎn)單，怎樣算才有藝術(shù).在平日教學(xué)過程中，老師應(yīng)該讓學(xué)生深刻理解特殊與一般的關(guān)系，并慢慢學(xué)會(huì)用特殊與一般的關(guān)系解決問題.下面給出幾個(gè)小題以供練習(xí)：

1.（蘇教版必修5課本第44頁(yè)第7題）一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中，偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)和之比為32∶27，求公差d.

2.（蘇教版必修5課本第56頁(yè)第2題第3小題）在等比數(shù)列{an}中，已知a1=2，S3=26，求公比q和通項(xiàng)公式an.

3.（人教B版必修5課本第55頁(yè)第5題）設(shè)數(shù)列{an}滿足an=2an-1+n(n=2，3，…):

（1）若{an}是等差數(shù)列，求{an}的通項(xiàng)公式；

（2）{an}是否可能為等比數(shù)列？若可能，求出此數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不可能，說明理由.