淺談反函數(shù)的幾點理論及其應(yīng)用

【摘要】函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，反函數(shù)是其中的一部分.反函數(shù)常用到的理論有五種，在解決初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的許多問題中發(fā)揮著不可或缺的作用，值得認(rèn)真學(xué)習(xí).

【關(guān)鍵詞】反函數(shù)；初等數(shù)學(xué)；高等數(shù)學(xué)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，作為函數(shù)內(nèi)容的一部分，反函數(shù)以其獨特的概念和性質(zhì)在解決初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的許多問題中發(fā)揮著不可或缺的作用，不可忽視.

一、反函數(shù)的幾點理論

1.什么樣的函數(shù)才有反函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)，從中反解出x=φ(y)，如果反對應(yīng)關(guān)系也是單值對應(yīng)的，則函數(shù)y=f(x)具有反函數(shù)x=φ(y)=f-1(y)，習(xí)慣上記為y=f-1(x).結(jié)論是：反對應(yīng)關(guān)系也是單值對應(yīng)的函數(shù)才有反函數(shù).

例如，函數(shù)y=x2在（-∞，+∞）內(nèi)，因為x=±y，反對應(yīng)關(guān)系不是單值對應(yīng)的，所以無反函數(shù).但是如果改變x的取值范圍，取x∈(0，+∞)，則x=y，反對應(yīng)關(guān)系是單值對應(yīng)的，則有反函數(shù)為x=y，習(xí)慣上記為y=x.

2.求反函數(shù)的步驟

（1）從關(guān)系式y(tǒng)=f(x)中反解出x=φ(y)=f-1(y).

（2）改為習(xí)慣寫法，將x與y互換位置，反函數(shù)寫為y=f-1(x).

（3）求反函數(shù)的定義域.

高中數(shù)學(xué)中，求反函數(shù)常見的類型有六種:一次函數(shù)、二次函數(shù)、三次函數(shù)、分式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù).此外，反函數(shù)還有反三角函數(shù)、反雙曲函數(shù).

3.結(jié) 論

反函數(shù)的定義域（值域）是直接函數(shù)的值域（定義域）.

4.單調(diào)函數(shù)（連續(xù)）必有反函數(shù)

因為單調(diào)函數(shù)（連續(xù)）的反對應(yīng)關(guān)系必是單值對應(yīng)的.

該條理論在高等數(shù)學(xué)推導(dǎo)一些公式和計算時會經(jīng)常用到.

5.互為反函數(shù)y=f(x)與y=f-1(x)的圖像關(guān)于直線y=x對稱

利用此結(jié)論，可以簡化一些函數(shù)的作圖，提高作圖技術(shù).

二、應(yīng)用舉例

例1 函數(shù)y=(x-1)2(x<1)的反函數(shù)為（ ）.

A.y=1-x(x≥1) B.y=1+3(x≥1)

C.y=1-x(x≥0)D.y=1-x(x>0)

解析 該題可以不直接求出y=(x-1)2的反函數(shù)再進(jìn)行選擇，而是利用前面的理論3，采用反函數(shù)定義域法求直接函數(shù)的值域，因為y=(x-1)2(x<1)的值域是y>0，所以它的反函數(shù)的定義域為x>0，故選D.

例2 求y=2x+1-13-4x的值域.

解析 利用反函數(shù)的方法，作代換求值域.

令t=13-4x(t≥0)，則反函數(shù)x=13-t2[]4.

∴y=2·13-t2[]4+1-t=-1[]2t2-t+15[]2=-1[]2(t2+2t+1)+8=-1[]2(t+1)2+8.

∵t∈［0，+∞)是關(guān)于t的二次函數(shù)的遞減區(qū)間，

∴當(dāng)t=0時，ymax=-1[]2+8=15[]2.

∴函數(shù)的值域為-∞，15[]2.

當(dāng)然，本題還有其他解法，從略.

例3 求函數(shù)y=2x+2-x[]2x-2-x的值域.

解析 用反函數(shù)定義域法求值域.

∵y=2x+2-x[]2x-2-x=22x+1[]22x-1，∴22x=y+1[]y-1(y≠1)，

x=1[]2log2y+1[]y-1，∴反函數(shù)為y=1[]2log2x+1[]x-1.

由x+1[]x-1>0知，反函數(shù)的定義域為(-∞，-1)∪(1，+∞).

∴函數(shù)y=2x+2-x[]22-2-x的值域為(-∞，-1)∪(1，+∞).

例4 作出函數(shù)y=x1[]3的圖像.

解析 作該函數(shù)的圖像時，因為取點的數(shù)據(jù)不好計算，所以將給作圖帶來困難.但是如果利用前面的理論5，先作出它的反函數(shù)y=x3的圖像，再利用對稱性作圖，就比較容易作出y=x1[]3的圖像了.

例5 用初等的方法求極限limx→0ex-1[]x（在沒學(xué)習(xí)羅比達(dá)法則之前）.

解析 用變量代換的方法，令y=ex-1，則ex=y+1，反解出x=ln(1+y)，當(dāng)x→0時，y→0，所以limx→0ex-1[]x=limy→0y[]ln(1+y)=limy→01[]ln(1+y)1[]y=1[]lne=1.

（利用到重要極限二和極限的相關(guān)理論）

這里，x=ln(1+y)，即y=ex-1的反函數(shù)，變換的過程就是求出反函數(shù)的過程.