一道幾何基本圖形的廣泛應用

（江蘇省姜堰市勵才實驗學校 225500）

圖 1如圖1，已知矩形ABCD，E為DC上的點，∠AEF=90°，交BC于F，∴∠1+∠2=90°，又∵∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，又∵∠D=∠C=90°，∴△ADE△∽△ECF.若AE=EF，則有△ADE≌△ECF.



下面舉例說明這個基本圖形的一些應用（以下以☆表示）.

圖 2例1 如圖2，在平面直角坐標系中，OB⊥OA，且OB=2OA，點A的坐標為（-1，2），求過A，O，B的拋物線的解析式.

分析 ∵∠AOB=90°，自A，B作x軸的垂線AM，BN，基本圖形☆就出現了，△AMO∽△ONB.∵OB=2OA，∴相似比為1∶2.∵A(-1，2)，∴BN=2OM=2，ON=2AM=4，∴B(4，-2).則過A，O，B的拋物線的解析式即可求.

牛刀小試 如圖3，已知P是函數y=1[]2x(x>0)圖像上一點，PA⊥x軸于點A，交函數y=1[]x(x>0)圖像于點M，PB⊥y軸于點B，交函數y=1[]x(x>0)圖像于點N.（點M，N不重合）試問：△OMN能否為直角三角形？若能，請求出此時點P的坐標；若不能，請說明理由.

圖 3提示 當∠ONM=90°時，△OBN∽△NPM，OB[]BN=PN[]PM=2，P(22，2).

當∠OMN=90°時，△OMA∽△NMP，AM[]AO=PN[]PM=2，P2[]2，2[]4.

圖 4例2 如圖4，Rt△AOB中，O為坐標原點，∠AOB=90°，∠B=30°，若A在反比例函數y=1[]x(x>0)圖像上運動，那么B在函數圖像上運動.

分析 ∠AOB=90°，自A，B分別作y軸垂線AN，BM，所以有△ANO∽△OMB，且相似比為1∶3，面積比為1∶3.

解 由分析得△ANO∽△OMB，相似比為OA[]OB=1[]3，S△ANO[]S△BMO=1[]3.

∵S△ANO=1[]2ON·AN=1[]2，

∴1[]2OM·BM=3[]2，∴OM·ON=3.∵B在第四象限，

∴B在y=-3[]x(x<0)上運動.

例3 如圖，直角坐標系中，以A(1，0)為圓心畫圓，點M(4，4)在⊙A上，直線y=-3[]4x+b過點M分別交x軸、y軸于B，C，若P在⊙A上，Q是y軸上C點下方的一點，當△PQM為等腰直角三角形時，求Q點坐標.

分析 由M(4，4)，A(1，0)可求半徑為5，無論△PQM的哪個角為直角頂點都可以，構造出全等三角形，利用邊的對應關系，可以求出Q點坐標.

綜上所述，Q1（0，2），Q2（0，-8），Q3（0，3-41），Q4（0，0）.

《數學課程標準》中規定，數學教學活動中教師應幫助學生在自主探究與合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗.所以教學過程中我們不僅要傳授解題過程，更重要的是方法的歸納、思想的滲透、思維的拓展.