導數(shù)問題的三種類型

導數(shù)進入高中數(shù)學教材后，給函數(shù)性質(zhì)的研究開辟了一條新的路徑.與傳統(tǒng)方法相比，導數(shù)法簡捷明快，具有明顯優(yōu)勢.若讓學生充分利用導數(shù)的解題功能處理有關問題，應先讓學生了解導數(shù)問題應用的如下三種類型.

一、基礎型

這類問題主要考查導數(shù)的基礎知識，如切線的斜率、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值與函數(shù)的最值.解題的關鍵是理解導數(shù)的有關基本概念，掌握求導的基本公式及求解的基本步驟.

例1 曲線y=e-2x+1在點（0，2）處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為( ).

A.1[]3 B.1[]2 C.2[]3 D.1

解析 本小題主要考查導數(shù)的求法、導數(shù)的幾何意義即切線的斜率.由題意y′|x=0=(-2e-2x)|x=0=-2，故曲線y=e-2x+1在點（0，2）處的切線方程為y=-2x+2，易得切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為1[]3.

二、交匯型

導數(shù)一旦與函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、二項式定理、不等式、立體幾何等內(nèi)容結合起來，問題的設計便更加廣闊，因而使得導數(shù)成為高中數(shù)學知識的一個交匯點，并且具有創(chuàng)新潛力大、綜合性強的特點.

1.導數(shù)與三角函數(shù)的交匯

例2 函數(shù)y=x[]2-2sinx的圖像大致是（ ）.

A B

C D

解析 因為y′=1[]2-2cosx，所以令y′=1[]2-2cosx>0，得cosx<1[]4，此時原函數(shù)是增函數(shù);令y′=1[]2-2cosx<0，得cosx>1[]4，此時原函數(shù)是減函數(shù)，結合余弦函數(shù)圖像，可得選C正確.

2.導數(shù)與數(shù)列、二項式定理的交匯

例3 利用導數(shù)求和:

（1）Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1(x≠0，n∈N*）；

（2）Sn=C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn（n∈N*）.

分析 這兩個問題可分別通過錯位相減法及利用二項式定理來解決，轉(zhuǎn)換思維角度，由求導公式（xn）=′nxn-1可聯(lián)系到它們是另外一個和式的導數(shù)，利用導數(shù)運算可使問題的解決更加簡捷.

三、應用型

培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐能力是數(shù)學教學中的一個重要目標和一條基本原則.導數(shù)作為一種優(yōu)越的解題工具，勢必在命題中體現(xiàn)出理論聯(lián)系實際的題型.

例4 請你設計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=FB=x cm.

（1）若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S（cm2）最大，試問x應取何值？

（2）若廣告商要求包裝盒容積V（cm3）最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.