抽象函數(shù)問題解法例抽象函數(shù)問題解法例

抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征式子的一類函數(shù).由于抽象函數(shù)的表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點(diǎn)之一，抽象性較強(qiáng)，靈活性大，解抽象函數(shù)的重要一點(diǎn)要抓住函數(shù)的某些特征，進(jìn)行觀察、分析、聯(lián)想和類比，利用常規(guī)的數(shù)學(xué)思想方法，突破抽象帶來的困難.就抽象函數(shù)，本文總結(jié)和反思先者的經(jīng)驗(yàn)，寫出拙見以供參考.

一、特例法

例1 已知f(x)是R上的增函數(shù)，令F(x)=f(1-x)+f(3+x)，則F(x)是R上的（ ）.

Ａ.增函數(shù) Ｂ.減函數(shù)

Ｃ.先減后增函數(shù)Ｄ.先增后減函數(shù)

解析 不妨設(shè)f(x)=x，則Ｆ(x)=1-x-(3+x)=-2x-2，顯然F(x)是R上的減函數(shù).

總結(jié) 特例、特值、特位、特形是選擇題解答的捷徑，抽象函數(shù)問題也不例外.

練習(xí) 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(a+b)=f(a)·f(b)，a，b為實(shí)數(shù)，且f(x)>0.若f(1)=1[]2，求f(-2)=.

二、遞推法

例2 對任意實(shí)數(shù)x，y均滿足f(x+y)=f(x)+2［f(y)］2，且f(1)≠0，則f(2011)=.

解析 令x=y=0，得f(0)=0，

令x=0，y=1，

得f(0+12)=f(0)+2［f(1)2］，

解得f(1)=0或f(2)=1[]2.

又 ∵f(1)≠0，∴f(1)=1[]2，令x=n，y=1，得

f(n+12)=f(0)+2［f(1)2］.即f(n+1)-f(n)=1[]2，

故f(n)=n[]2，∴f(2011)=2011[]2.

總結(jié) 這種求較大的自變量對應(yīng)的函數(shù)值，一般從周期或者遞推式入手，在抽象的關(guān)系始終，根據(jù)求解目標(biāo)而賦值遞推，顯然是特殊到一般，再從一般到特殊的基本認(rèn)識規(guī)律，要處理的問題就一目了然了.

三、單調(diào)法

例3 已知f(x)的定義域是(0，+∞)，對任意x，y∈(0，+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，且當(dāng)x>1時，f(x)>0，若f1[]3=-1，求f(1)的值及滿足不等式f(x)-f1[]x-2≥2的x的取值范圍.

解析 令x=y=1，則f(1)=0.任取x1，x2∈(0，+∞)，且x11，

∴f(x2)-f(x1)=fx2[]x1>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在（0，+∞）上是增函數(shù).

∴f(x)-f1[]x-2=f［x(x-2)］≥2.∵f(3)=f(1)-f1[]3=1，∴f(9)=2f(3)=2.

則x(x-2)≥9，

x>0，

x-2>0，解得x≥1+10.

總結(jié) 解抽象函數(shù)的不等式，往往先用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，再把要求解的不等式化為f(A)與f(B)的不等式后，再轉(zhuǎn)化到自變量A，B之間的不等關(guān)系，實(shí)現(xiàn)不等式的求解，注意絕不能忽略定義域的約束.

四、周期法

例4 已知f(x)是R上的函數(shù)，且f(x+2)=1+f(x)[]1-f(x)，若f(1)=2，求f(2013)的值.

解析 ∵f(x+4)=1+f(x+2)[]1-f(x+2)=-1[]f(x)，∴f(x+8)=-1[]f(x+4)=f(x).

∴f(x)的最小正周期為8，∴f(2013)=f(5)=f(1+4)=-1[]f(1)=-1[]2.

總結(jié) 賦值的過程注意到抽象關(guān)系式所表達(dá)的自變量的增量引起的f(x)的循環(huán)，發(fā)現(xiàn)抽象函數(shù)的周期性是解題的關(guān)鍵.

五、對稱法

例5 已知函數(shù)f(x)滿足f(x)+f(-x)=2012，求f-1(x)+f-1(2012-x)的值.

解析 由題知函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于（0，1006）對稱，根據(jù)原反函數(shù)的關(guān)系知函數(shù)f-1(x)圖像關(guān)于點(diǎn)（1006，0）對稱，所以f-1(x)+f-1(2012-x)=0.

練習(xí) 定義在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間（0，2）上為增函數(shù)，且對任意x∈R都有f(2+x)=f(2-x)成立，那么下列不等式正確的是（ ）.

A.f(1)

C.f7[]2

解析 由f(2+x)=f(2-x)知f(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱，有f(x)=f(4-x)，則f5[]2=f3[]2，f7[]2=f1[]2.又∵1[]2<1<3[]2，且函數(shù)f(x)在區(qū)間（0，2）上為增函數(shù)，∴f1[]2

總結(jié) 由題設(shè)表達(dá)式知函數(shù)的對稱性，再將所求的轉(zhuǎn)化到已知上達(dá)到求解的目的.