巧設(shè)直線方程x=ty+m

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，由于集中交匯了解析幾何中直線、圓錐曲線兩部分的知識(shí)內(nèi)容，還涉及函數(shù)與方程、不等式、向量、平面幾何、數(shù)列等許多知識(shí)，是高考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn).此類考題綜合性極強(qiáng)，能力要求也極高，其中計(jì)算能力的要求尤為重要，因此我

們除了平時(shí)要注意計(jì)算能力的訓(xùn)練外，還需注意優(yōu)化解題過程.

通常情況下我們把直線方程一般設(shè)成點(diǎn)斜式、斜截式，但有時(shí)我們把直線設(shè)成x=ty+m的形式會(huì)大大地減小計(jì)算量.那么什么時(shí)候適合把直線設(shè)成x=ty+m的形式呢？下面通過幾個(gè)例子做初步探究.

1.當(dāng)圓錐曲線是拋物線y2=2px時(shí)，把直線設(shè)成x=ty+m的形式可以使計(jì)算更簡捷

例1 在拋物線y2=4x上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+3對稱，求k的取值范圍.

解 設(shè)B，C關(guān)于直線y=kx+3對稱，由題意知直線BC的斜率不可能為0.

因此可設(shè)直線BC方程為：x=-ky+m，

代入y2=4x整理得：y2+4ky－4m=0.①

設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC中點(diǎn)為M(x0，y0)，

則y0=1[]2(y1+y2)=－2k，x0=2k2+m.

∵點(diǎn)M(x0，y0)在直線y=kx+3上，

∴－2k=k(2k2+m)+3，

∴m＝－1[]k(2k3+2k+3).②

又 ∵直線BC與拋物線交于不同兩點(diǎn)，

∴①式的Δ=16k2+16m>0，

把②式代入化簡得(k+1)·(k2-k+3)[]k<0，

解得：－1

點(diǎn)評(píng) 本題把直線設(shè)成x=-ky+m使得直線和拋物線聯(lián)立得到的方程①簡潔，從而后續(xù)計(jì)算也變簡潔，若把直線BC方程設(shè)成y=-1[]kx+m，則計(jì)算量會(huì)增大.

2.當(dāng)直線過x軸上某一定點(diǎn)M（m，0），且題中涉及以M點(diǎn)為端點(diǎn)的向量相等時(shí)，把直線設(shè)成x=ty+m，也有助于減小計(jì)算量

例2 （2010年全國卷2理）已知橢圓C:x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)的離心率為3[]2，過右焦點(diǎn)F且斜率為k(k>0)的直線與C相交于A，B兩點(diǎn).若AF=3FB，則k=( ).

A.1 B.2 C.3 D.2

解 因?yàn)槭乔笾担沂沁x擇題，由橢圓的離心率為3[]2可取橢圓方程為x2[]4+y2=1.由題意知直線的斜率不可能為0，因此可設(shè)直線方程為x=ty+3，

聯(lián)立消去x，得（t2+4)y2+23ty-1=0.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）.根據(jù)韋達(dá)定理得

y1+y2=-23t[]t2+4，y1y2=-1[]t2+4.①

由AF=3FB，得（3-x1，-y1)=3(x2-3，y2).②

則-y1=3y2，代入①中可得t=2[]2，

所以k=2.故選B.

點(diǎn)評(píng) 本題把直線設(shè)成x=ty+3，聯(lián)立消元后得到一個(gè)關(guān)于y的一元二次方程，而由②式可得到兩個(gè)等式3-x1=3(x2-3)和-y1=3y2，顯然選擇后者關(guān)系簡單得多，因此大大地減小了計(jì)算量.

3.當(dāng)直線過x軸上某一定點(diǎn)M（m，0），且直線的斜率不可能為零，但又可能不存在時(shí)，把直線設(shè)成x=ty+m，不但可以減小計(jì)算量，而且還可避免討論斜率不存在的情況，從而簡化解題過程

例3 (2011年湖南師大附中第六次月考)已知點(diǎn)P是圓x2+y2=1上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影為Q，設(shè)滿足條件QM=λQP(λ為非零常數(shù))的點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程;

(2)若存在過點(diǎn)N1[]2，0的直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且OA·OB=0(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求λ的取值范圍.

解 (1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，y0），由QM=λQP，得x=λx0，y=y0，因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，則x20+y20=1，所以x2[]λ2+y2=1(λ≠0)，故點(diǎn)M的軌跡C的方程是x2[]λ2+y2=1(λ≠0).

（2）直線l斜率為零時(shí)，OA·OB≠0，故設(shè)直線l的方程為x=my+1[]2.

聯(lián)立消元得(m2+λ2)y2+my+1[]4-λ2=0.①

設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

則y1y2=1[]4-λ2[]m2+λ2，y1+y2=-m[]m2+λ2.

因?yàn)楠㎡A·OB=0，則x1x2+y1y2=0.

又 x1x2=m2y1y2+m[]2(y1+y2)+1[]4，所以(m2+1)1[]4-λ2-m2[]2+1[]4（m2+λ2)=0，