奇妙的經驗公式 n(n-1)2

在學完北師大版七年級（上)《第四章》平面圖形及其位置關系后，我設計了一個探究性專題課，讓四個小組分別探究四個問題：

（1）過平面上的n個點可以畫幾條線段？

（2）過平面上的n個點，最多可以畫幾條直線？

（3）平面上n條直線，最多可有幾個交點？

（4）由公共端點的n條射線可以組成幾個小于平角的角？

（四個問題中，n≥2，n為整數）

結果答案都是n(n-1)[]2，這時大家都感到好奇，接著我讓四個小組互相交流，共同體會這個公式的奧秘，結果同學們發現這四個問題分別當n等于2，3，4，5，6，…，n時對應的結果都出現了一組數1，3，6，10，15，…，n(n-1)[]2，即第n個數是n(n-1)[]2.

最后我讓學生聯系生活中的事例，思考哪些問題也可以運用公式n(n-1)[]2解決，讓學生思考探討，最后學生探究出以下生活事例：

（1）公路上有n個車站，任意兩站的票價不同，則要準備多少種票價?

（2）一次朋友聚會，每兩個人都要握一次手，n個人要握多少次手？

（3）在一次籃球比賽中，n個球隊要進行一次單循環比賽，共需要幾場比賽？

……

它們都符合這個奇妙的公式.

問題拓展：當n≥1，n為整數時，結果會怎么樣呢？

例如 將棱長為a的正方體擺成如圖示形狀，第一層有1個正方體，第二層有3個正方體，第三層有6個正方體，第4層有10個正方體……

按如此規律，第10層有多少個正方體？

分析 觀察圖形，發現各層正方體個數依次為1，3，6，10，15……



即：第1層1個正方體，1=1×(1+1)[]2；

第2層3個正方體，3=1+2=2×(2+1)[]2；

第3層6個正方體，6=1+2+3=3×(3+1)[]2；

第4層10個正方體，10=1+2+3+4=4×(4+1)[]2；

……

第n層，1+2+3+4+5+…+n=n(n+1)[]2.

結論：當n≥1時，得出公式：n(n+1)[]2.

本題中當n=10時，即第10層有：10（10+1）[]2=55(個)正方體.

綜上所述，選擇哪個公式要看條件和實際問題，當分析問題時出現1，3，6，10，15……問：第n個數是幾？

那么，當n≥2時，運用公式n(n-1)[]2;當n≥1時，運用公式n(n+1）[]2.

練習：將正整數按圖示規律排列下去，若用有序整數對（n，m）表示第n排，從左到右第m個數，如（4，3）表示9，則（7，2）表示哪個數？



分析 本題要求的是第7排從左數第2個數是多少？觀察到每排最后一個數的規律，第n排最后的數是n(n+1)[]2，可先求出第7排最后一個數（28），再根據第幾排有幾個數，從而求出第7排從左數第2個數是23.

最后教師作總結：數學真奇妙，數學來源于生活，又服務于生活.所以每名同學要注意題給條件，養成善于觀察生活，勤于思考，善于總結的習慣，做到舉一反三，一題多解、一題多變，培養數學思維能力.

教學反思

作為教師應該明白，數學教學是數學活動的教學，是師生交往互動、共同發展的過程，學生是數學學習的主人，有效的數學教學應當從學生的生活經驗和已有的知識背景出發，向他們提供充分從事數學活動的機會，在活動中激發學生的學習潛能，促使他們在自主探究與合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識、技能、數學思想方法，獲得廣泛的數學活動經驗，提高解決問題的能力.