類比推理在高中數學解題中的應用

（山東省齊河縣第一中學 251100）

數學家高斯說：“數學是鍛煉思維能力的體操.”類比思維是培養學生創造性思維能力的重要形式，具有較強的探索和預測作用.教學中恰當地運用類比方法，不僅能突出問題的本質，提高教學質量，而且有助于培養學生的創造能力等思維品質，提高認識問題和解決問題的能力.

下面結合實例對幾種常見的類比形式做一分析、比較，以便更好地把握類比思想在數學解題中的應用.

一、數列中的類比

教學中教師要很好地挖掘知識間的聯系，充分地讓學生去類比、聯想和想象，激發學生的創造熱情和探索欲望.如，和——積、差——商、算數平均數——幾何平均數的類比等.

AB2+AC2=BC2.”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面面積與底面面積間的關系，可以得出的正確結論是：“設三棱錐A-BCD的三個側面ABC，ACD，ADB兩兩相互垂直，則.”

分析 關于空間問題與平面問題的類比，通常可抓住幾何要素的如下對應關系：點——線、線——面、面——體（圓——球、三角形——四面體、平行四邊形——平行六面體、二面角——平面角）、平面向量——空間向量等.

(二)解析幾何中的類比

圓錐曲線包括圓在內都是平面截圓錐所得的曲線形式，從定義、方程推導、性質到題型、方法都存在共性，通過類比降低教學難度，使類比思維方法潛移默化地滲透于教學之中.

例3 在以原點為圓心，半徑為r的圓上有一點P(x0，y0)，則過此點的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2，而在橢圓x2[]a2＋y2[]b2＝1(a>b>0)中，當離心率e趨近于0時，短半軸b就趨近于長半軸a，此時橢圓就趨近于圓．

類比圓的面積公式，在橢圓中，S橢＝.類比過圓上一點P(x0，y0)的圓的切線方程，則過橢圓x2[]a2＋y2[]b2＝1(a>b>0)上一點P(x1，y1)的橢圓的切線方程為．

答案 π·a·b；x1[]a2·x＋y1[]b2·y＝1.

三、定義、運算中的類比

數學教育家波利亞說：“類比就是一種相似.”把兩個數學對象進行比較，找出它們相似的地方，加以應用，這在教學中關于概念、性質的教學是最常用的方法.

例4 設f(x)＝1[]2x＋2，利用課本中推導等差數列前n項和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值為．

解析 本題是“方法類比”．因等比數列前n項和公式的推導方法是倒序相加，那么經類比不

教師的日常教學中要根據教材特點，在傳授新知識時，有意識地引導學生，通過類比與歸納得出新的知識，逐步學會類比推理的方法；在進行知識復習時，經常對相關的知識進行類比，培養學生對相關知識進行類比的習慣；在解題中，通過類比引導學生探求解題途徑，深化對知識的理解和對數學思維方法的掌握.