數學概念教學中思維能力培養初探

【摘要】數學概念教學在整個教學過程中具有舉足輕重的地位，如何在概念教學中培養學生的思維能力又是數學教學中的重中之重.本文將結合自己的教學實踐提出一點自己的看法.

【關鍵詞】概念教學；思維能力；培養；策略

數學概念是揭示現實世界空間形式與數量關系本質特征屬性的思維方式，其本身具有嚴密性、抽象性、科學性和明確規定性.數學教學的本質是思維展示和發展的過程，在這個過程中，數學概念教學是一個重要環節，也是學生數學思維能力產生和發展的初始階段.抓好這個環節可以培養學生良好的數學思維能力，進而在整個數學學習過程中達到事半功倍的效果.

一、重視概念教學，強化概念意識

數學概念是數學思維的指向燈，只有有了正確的數學概念意識才能使數學思維能力向良性方向發展.教師要重視概念教學，強化學生的概念意識.

我在給高一新生上的第一堂數學課中提出的第一個問題是：“什么是數學？”有些同學馬上說：“是數的學問.”我提示道：“那數學就只研究數字不研究幾何圖形了嗎？”有同學補充說：“數學是研究數與形的學問.”我告訴他們這還不是最好的回答，讓他們在下面討論一下到底什么是數學.最后有同學搬出新華字典給出數學的概念：研究現實世界的空間形式和數量關系的科學，包括算術、代數、幾何、三角、微積分等.這次提問使學生明白了什么是數學以及數學研究的對象等，為下面數學的學習和研究指明了方向，也使學生認識到數學概念在數學學習中的基礎和指向作用.

二、定向引導，深入研究，抓好概念教學的初始階段，培養良好思維能力

人的思維是有一定惰性的，它常使人們對問題的理解停留在知識的表面，滿足于一知半解.因此，在數學概念教學中，教師要善于定向引導，并且運用適當的方法（比如概念同化、概念遷移等），讓學生由表及里、步步深入地學習某個概念，這樣才能使學生的思維能力得以鍛煉和優化.

例如，在教函數概念之前，我設計了一個引入部分：讓學生來研究圓的面積與半徑之間相互變化的規律.先給出幾組半徑的數據讓學生計算圓的面積，進而讓學生來求：當半徑為x時，圓的面積y的值.這樣使學生由原有的認知結構中的常量數學自然過渡到變量數學，在這個基礎上讓學生總結得出函數的初中定義：在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與之對應，那么說x是自變量，y是x的函數.然后，強調定義中的兩個“一”即“每一”和“唯一”.此時拋出一個問題：用你所學知識給函數重新下一個定義.由于映射的概念剛剛學過，學生很容易得出函數的映射概念.由于是自己探索出來的概念，他們會有一種成就感，學習興趣提高.

三、在概念教學過程中提高學生思維能力的策略

1.展示概念背景，培養思維的主動性

在數學概念教學過程中向學生展示概念產生的背景，激發學生的好奇心，達到讓學生主動思考的目的，從而培養思維的主動性.

我在講述對數概念時，先講述對數的起源.對數起源于想把大數的相乘問題轉化為加減問題的思想.我在黑板上寫出兩個數列，前一個為等差數列，后一個為等比數列，如：

…-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8…

…1[]32，1[]16，1[]4，1[]2，1，2，4，8，16，32，64，128，256…

要計算8×16，只需在下一列數中找到8與16，在上一列數中找到其對應的數3和4，3+4=7，在上面一列數中找到7，7在下一列數中所對應的數為128，則8×16的值為128.再如，求162，可轉化為尋找16所對應的數為4，4+4=8，則162的值為256.這種特殊的算法一下子引起學生的好奇心，激發起他們對對數學習的欲望.從教學反饋的效果來看：大多數學生能夠較好較快地掌握對數概念，并且在學習對數運算性質logaM·N=logaM+logaN時都能較快理解并接受.

2.創設求知情境，培養思維的敏捷性

數學概念一般比較枯燥乏味，如果只是照本宣科地講述，學生容易失去興趣，進而影響概念的理解和記憶.在講述概念之前若能夠創設一個求知情境，則不光是教學效果非同一般，而且能夠培養學生思維的敏捷性.

在講述指數函數的概念時，我給學生提出“楊白勞的債務”問題：楊白勞3月初借黃世仁2元錢，月底要還4元錢，月底無法償還，請求延期.4月底要還8元錢，仍無法償還，又請求延期.如此下去，年關時要還多少錢？學生答：29=512（元）.我又問：x月后要還的錢數y應該是多少呢？學生答：y=2x（元）（x∈N*）.此時，我說，若把這里的“2”推廣到a（a>0，且a≠1），定義域推廣到R，則可得到指數函數的概念.學生很快理解我的意思，自己總結得出指數函數的概念.從他們喜悅的表情可以看出：這個概念他們已經理解并接受了.

３.精確表述，細致剖析新概念，培養思維的縝密性

思維的縝密性表現在抓住概念的本質特征，對概念的內涵與外延的關系全面深刻地理解，對數學知識結構的嚴密性和科學性能夠充分認識.因此，當概念形成后，要求學生能夠準確地表述概念.在這個基礎上，對新概念進行剖析，使學生對新概念有更加深入、細致的了解.從而達到培養他們思維縝密性的目的.

淺談高中數學課堂的實效性生成的策略淺談高中數學課堂的實效性生成的策略

◎李彥鵬 （寧夏回族自治區鹽池高級中學 751500)

高中數學課堂教學，要注重實際效果的生成，真正關注學生思維能力的發展，發掘培養學生的優良品質，從而提高學生的數學素養.本文旨在探索課堂教學中的實效性生成的策略.

一、設計精巧的問題，教師必要的暗示是提高課堂實效的策略

教師通過啟發，給學生必要的暗示，并要通過學生自己的思維活動來獲得、實現這些暗示，這就是我們常說的創設問題情境，而有效的問題情境則顯得更重要.通過教師暗示，讓學生在展開討論過程中自然地生成知識過程，建構知識體系，這是獲得教學實效的方法和策略.

例如設函數f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.

（1）若f(x)的兩個極值點為x1，x2，且x1x2=1，求實數a的值；

（2）是否存在實數a，使得f(x)是R上的單調函數？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.

第一問簡單，這里從略.第二問，學生首先求出f(x)的導數f′(x)=18x2+6(a+2)x+2a，多數學生一看導函數是二次函數，而原函數要求在R上是單調的，自然分兩種情況討論：當f(x)是增函數時，有f′(x)=18x2+6(a+2)x+2a≥0，再由三個二次的關系得二次項系數顯然大于零，只需Δ=36（a2+4）≤0，而Δ=36（a2+4）顯然大于0，所以不存在這樣的a；當f(x)是減函數時，有f′(x)=18x2+6(a+2)x+2a≤0，x的解集是空集，因此，這樣的a不存在.綜上，不存在實數a使得f(x)是單調函數.實際上可以引導學生分析，上面解法分兩種情況，都涉及判別式，若首先考慮判別式，發現判別式恒大于零，立即作出判斷，不需要分類討論就可以解決問題.因此，教師要抓住課堂這一貫穿素質教育的主渠道，在課堂上留給學生一定的空間，及時捕捉學生的靈感和智慧，發掘課堂的實效特點，贏得精彩的課例.

二、反思課堂的動態生成，贏得課堂精彩

設計動態的直觀圖形啟發學生，直觀加上動態，更容易引起學生的注意、質疑、嘗試、探求、理解等.更多的還要注意反思，課堂動態生成能使課堂精彩有效.前沿的課堂教學理念，是更應該關注教師的行為，好多的課堂應是一個動態的生成過程，不是按設計好的思路展開教學，而是在精心預設基礎上絕妙的生成，并給課堂提供了無比珍貴的教學資源，讓課堂煥發生命力.

例如，若方程x2-1.5x-k=0在(-1，1)上有實根，試求k的取值范圍.

解法1:令f(x)=x2-1.5x-k，當方程在（-1，1）上有兩個解，則判別式Δ≥0且f(1)>0，f(-1)>0，解得-9[]16≤k≤-1[]2；當方程在（-1，1）上有一個解，則f(1)f(-1)<0或f(-1)=0且f(1)>0或f(-1)>0且f(1)=0，解得-0.5≤k<2.5.綜上得：-9[]16≤k≤-1[]2.

接下來，有一名學生在解1的基礎上做了改進.

解法2：f(x)=x2-1.5x-k的對稱軸k=3[]4屬于(-1，1)，所以方程在區間有實根的充要條件是判別式Δ≥0且f(-1)>0.

該解法發現了本題的特殊性，瞬間將難題破解，雖然不具有一般性，但豐富了課堂資源，使課堂更精彩，并引起其他同學更精彩的解法.

解法3：令k=x2-1.5x，k屬于(-1，1)，可以看作自變量x關于k的二次函數.

解法4：令f(x)=x2-1.5x，x屬于(-1，1)，g(x)=k，若方程在區間有解，則只要f(x)和g(x)圖像有交點即可.

解法3巧妙在把問題轉化為二次函數的值域問題，轉化思想，而對值域的處理學生手段多，問題簡單了.解法4將代數問題轉化為圖像交點問題，運用數形結合思想.這就是課堂的活資源的生成使學生的學習積極性極大調動起來，說明學生的思維不可預設，平時教學要真正激發學生的思維，使課堂有生命力，備課要制造一些動態生成過程的數學學習素材，這就能有效地暴露學生的思維過程，激發他們積極參與到教學中來.

三、抓住數學本質，把握核心概念，提升課堂實效

把握數學的核心概念，從數學知識中揭示、發掘解題方法，從而深刻認識數學，培養學生的數學素養.在復數概念的教學中，教材指出形如a+bi的數叫復數，a，b屬于R.復數的概念看似簡單，實則含義深刻，因此，教師引導學生要有下列的認識：復數的形式是唯一的，復數不能比較大小，若有兩個形式表示同一個復數，則這兩個形式復數的實部、虛部分別相等即復數相等的概念，這實際是復數概念的子概念；復數的四則運算最后的結果一定寫成a+bi的形式，遇到分式、根式、其他的四則運算，都要化成a+bi的形式才能是最簡的，既是復數運算的要求又是解決復數問題，特別是復數代數運算的解題思路.因此，解決復數有關問題要牢牢抓住復數這一核心概念.

總之，在實際課堂教學中，精心設計具有典型性、示范性和針對性的題目，引導學生構建新的知識體系，認識數學的本質，生成精彩的課堂案例，充分關注、探索課堂實效，培養提高學生的數學能力和數學素養，這是一項長期有意義的工作.