新課標下高中數學習題教學研究

一、新型高中數學習題題型簡介

新課標注重學生的差異化培養，尊重學生的個性差異，使每名學生得到全方位各方面的發展.針對這個問題教師應當考慮到每名學生的學習能力與思維模式的不同，在習題的準備類別上做到豐富多樣.

1.探究性型習題.

面對獨立、富有個性、樂于追求新鮮事物的學生來說，相比刻板硬套的程序化習題，設計研究型習題更能提高學生自身的學習興趣，增長自信心.面對學生學習能力的不同，我們應當選擇一些難度得當、高而可攀的探究型習題.

2.跨學科型習題.

新課標要求教學與信息社會發展總趨勢適應，注重數學與其他學科直接的聯系.對于數學教師來說不應當只注重自身學科，還應當對物理、化學等理科有充分的重視，因為數學是我們理科的工具，一切理科學科都要依賴于數學.學生在學好數學的情況下能提高整體理科的學習能力，這樣能夠加強學生對各科知識的整體性和綜合性的認識.

3.閱讀型習題.

此閱讀型習題非語文上的閱讀題，而是題目較長，需要學生在充分閱讀題目、理解題目意思、構建出數學模型、分析出題目所需的知識點才能正確做出的題型.新課標中提出要培養學生閱讀、自學等學習數學的方式.而這恰恰是現代高中生所缺少并且需要教師們去引導的方面.好的分析問題解決問題的能力是以后所有新知識學習的萬能技能.

二、高中數學習題課講解對策

在豐富習題類型的基礎上，加上教師對習題靈活、有效的講解才能利用習題教學來檢查與鞏固學生所學到的知識，才能有助于教師對教學知識的評價.培養學生對問題的思考、學習、評價、質疑、反思.

1.在對習題講解前要搞清習題的難易程度與重點所在，這樣能有助于教師幫助學生深化對知識點的學習，擴大學生的知識面，有助于學生知識體系的形成.教師在講解前弄清重、難點，能夠運籌帷幄，講解時學生學習點清晰.不要把知識點的刻板記憶、重復與知識點的簡單訓練當作講解的重點，而是應當注重知識的整體連接性，注重知識鏈的連接，在講解習題時善于引導學生找到解題突破口，注重歸納總結解題規律，培養學生觸類旁通、舉一反三的能力.

2.對于不同學習能力的學生注重開放性習題的講解，讓其從自己的角度從事自己力所能及的研究、分析問題，提出合理的問題，并自行解決，重樹學習能力不佳學生的自信心與自尊心.在講解習題時要注意培養學生思維的靈活性與發散性，其途徑可以是一題多解、多變等，這樣能加深學生對數學問題的探究興趣.對于多題同解問題的講解有助于引導學生對知識點的歸納總結，提高解題速率.

3.在講解習題時不能唯標準答案論，要引導學生勇于質疑，培養學生的思辨能力.為了達到效果，在講解時可以特意用錯誤的易混知識點來解題，觀察并提醒學生，讓學生發現問題，并解決.這樣在培養學生質疑、思辨能力的同時還鞏固了對易混易錯知識點的學習.

4.在習題講解時要注重學生猜測、推理能力的培養.對于課本中常見的題型加以改編，成為猜測推理型題型.在講解時要講清楚為什么這樣猜測與猜測的重點，并用順序、倒序、兩面夾的方法來推理證明猜測的正確性.在解題思維的沖撞與溝通中切實加強學生對數學知識的深入理解與全面掌握能力.

下面通過習題來說明如何靈活、有效地講解習題.

已知x，y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范圍.

解答此題的方法比較多，下面給出幾種常見的思想方法.

解法一 （函數思想）由x+y=1，得y=1-x，則

x2+y2=x2+（1-x）2=2x2-2x+1=2x－1[]22+1[]2.

由于x∈［0，1］，根據二次函數的圖像與性質知，當x=1[]2時，x2+y2取最小值1[]2；當x=0或1時，x2+y2取最大值1.

評注 此種方法的評講重點是：對于二元或多元函數的最值問題，往往是通過變量替換轉化為一元函數來解決，這是一種基本的數學思想方法.解決函數的最值問題，我們已經有比較深的函數理論、函數性質，如單調性的運用、導數的運用等都可以求函數的最值.教師在用此種方法講解時要突出函數的性質、圖像的特點，并加以知識點的延伸，復習高中常見的幾種函數.

解法二 （三角換元思想）由于x+y=1，x，y≥0，則可設

x=cos2θ，y=sin2θ，其中θ∈0，π[]2.

則x2+y2=cos4θ+sin4θ=1-1[]2（2sinθcosθ）2=1－1[]2sin22θ=1－1[]2×1－cos4θ[]2=3[]4+1[]4cos4θ.

于是，當cos4θ=－1時，x2+y2取最小值1[]2；當cos4θ=1時，x2+y2取最小值1.

評注 三角換元可將問題轉化為三角恒等式變形后來解決，而三角恒等變形卻有著一系列的三角公式，所以運用三角換元解決某些問題往往比較方便.換元的思想是不容易想到的.教師在評講時要注意引導學生對可用三角換元題型的總結，并對三角變換的知識加以總結，注重學生知識鏈的形成.

解法三 （對稱換元思想）由于x+y=1，x，y≥0，則可設

x=1[]2+t，y=1[]2－t，其中t∈－1[]2，1[]2.

于是，x2+y2=1[]2+t2+1[]2－t2=1[]2+2t2，t2∈0，1[]4.

所以，當t2=0時，x2+y2取最小值1[]2；當t2=1[]4時，x2+y2取最大值1.

評注 這三種方法，在本質上都一樣，都是通過函數觀點來求最值，只是換元方式的不同而已，也就導致了化簡運算量大小不同，教師通過引導、啟發學生主動思考、運用，提高了學生對數學的認識，也增強了學生的思維能力.