莫比烏斯圈的反常現象

【摘要】本文通過對莫比烏斯圈和普通環圈的制作與裁剪過程比較發現并確定：它們并非同類物體；莫比烏斯圈原有裁剪結論違反常規；由于莫比烏斯圈為“非三維”物體，故莫比烏斯圈肌體里并存著三維和“非三維”兩種形態，這種“雙態”并存的形態不會消失，更無法用人為方式將其改變.唯此，弄清為什么裁剪莫比烏斯圈時會出現反常現象，對正確認識莫比烏斯圈有現實意義！（因為我國正在小學教育階段推進介紹和認識莫比烏斯圈）

【關鍵詞】莫比烏斯圈；主導、從屬、合成運動；“非三維”物體；雙重三維坐標體系

一、關于莫比烏斯圈

1.莫比烏斯圈的形成

莫比烏斯圈是由德國數學家莫比烏斯先生在150年前公布于世的.

隨后，科學家把莫比烏斯圈定位在數學領域的拓撲學分支里，其數學定義為單側的、閉路的、反轉定向的曲面.這樣的莫比烏斯圈最終就只剩下一個“表面”和一條“邊緣”了.（見圖1下部和圖2）

圖 1 圖 2

2.莫比烏斯圈與普通環圈的不同

觀察發現：普通環圈和莫比烏斯圈在制作方法和制作過程上都不相同.

制作普通環圈的過程是將片狀物體回轉360°，讓片狀物體的兩個端部進行對接，即由兩維平面狀態轉化到三維立體狀態.（見圖1中部）

制作莫比烏斯圈的過程則是將片狀物體的一個端頭扭轉180°，再將片狀物體回轉360°，讓片狀物體的兩個端部進行對接.經過這樣的扭轉、回轉和對接，該片狀物體由兩維平面狀態轉化到了立體狀態.

觀察同時發現：

當對普通環圈的表面劃線并沿線裁剪時，能得到若干個與原圈等周長的“窄”普通環圈，不會得到其他種類的環圈.

當對莫比烏斯圈的表面劃線并沿線裁剪時，其裁剪結果卻有兩種：

（1）當在其表面劃一條中線并沿線裁剪時，將得到一個周長比原圈長一倍、寬度比原圈窄一半且其表面被扭轉720°的普通環圈.（見圖3）

圖 3

（2）當在其表面劃2條等距離的平分線并沿線裁剪時，則不僅能得到一個周長比原圈長一倍、寬度比原圈窄2[]3且其表面被扭轉720°的普通環圈，同時還能在其中心部位再得到一個單獨的、寬度比原圈窄2[]3且周長與原圈等長的“窄”莫比烏斯圈.（見圖4）

圖 4

以上兩個在莫比烏斯圈表面劃線并沿線裁剪的結果，已經成為全世界所有數學書籍里介紹莫比烏斯圈的標準模式.由于普通環圈和莫比烏斯圈的制作方法和裁剪結果都不同，故假設其兩者并不是同類物體！

二、質疑莫比烏斯圈原裁剪結論

1.原裁剪結論里的反常現象

從以上敘述的結果可以看到：當對莫比烏斯圈的表面上劃偶數條線并沿線裁剪時，在其中心部位將存留著的“窄”莫比烏斯圈，竟會在對其表面上劃奇數條線并沿線裁剪的過程中神秘地消失了！（見圖5）

圖 5

這里面似乎存在著某種極為反常的現象和規律.

要解釋這個反常現象或規律，讀者必須先認同一個基本常識：

（1）當在普通環圈的表面上劃均等的奇數條線并沿線裁剪，可以得到偶數個“窄”普通環圈；如在其表面上劃均等的偶數條線并沿線裁剪，則可得到奇數個“窄”普通環圈；絕對不會得到其他種類的環圈.

（2）將普通環圈的裁剪結果引入對莫比烏斯圈表面劃線并沿線裁剪時，其裁剪結果應該敘述為：在莫比烏斯圈表面上劃奇數條線或偶數條線并沿線裁剪時，其裁剪結果應完全一致才符合邏輯：即經過裁剪的莫比烏斯圈要么全部被裁剪成“若干個周長倍增且被扭轉720°的‘窄’普通環圈”要么被裁剪成“若干個周長倍增且被扭轉720°的‘窄’普通環圈，加一個與原圈等周長的‘窄’莫比烏斯圈”.而不應該出現兩種完全不同的結果！

顯然，見諸于中外數學著作里“在莫比烏斯圈的表面上劃線并沿線裁剪的兩個完全不同的結果”，是一種反常現象或規律！起碼該結論里存有相互矛盾且可以被提出質疑或有待商榷的地方.

2.剖析出現反常現象的原由

為什么沿偶數條線裁剪莫比烏斯圈會出現“窄”普通環圈和“窄”莫比烏斯圈，沿奇數條線裁剪莫比烏斯圈則只出現“窄”普通環圈，不出現“窄”莫比烏斯圈呢？這是令人費解的反常現象！而導致該反常現象的原因是：普通環圈與莫比烏斯圈并不是同一類型的物體.二者之間的區別不僅表現在制作方法和裁剪結果不同，最根本的區別是它們各自所轄的空間維度有所不同.下面用不同的制作和生成方式來分析二者各自所轄的空間維度.

制作和生成普通環圈的方式是：先在三維坐標系的x-y平面內生成以原點O為圓心的正圓，然后在該坐標系z軸的正、負方向上對該圓進行拉伸，就可以制作和生成標準的普通環圈了.（見圖6）

圖 6 圖 7

制作和生成莫比烏斯圈方式是：先建立一個雙重三維坐標體系（見圖7），在該坐標體系內的第一個三維坐標系（xOy）為主導三維坐標系，其原點位置為O；第二個三維坐標系（x′O′y′）為從屬三維坐標系，其原點為O′，且該原點O′就是x-y平面上以O為圓心的正圓與x軸的交點.但是，處于該從屬三維坐標系內x′-y′平面上的設定目標繞O′進行的規則運動的先決條件是：必須按（xOy），（x′O′y′）之間相互對應的旋轉、位移、扭轉關系進行.即當（x′O′y′）x′-y′平面上某質點在（xOy）x-y平面上繞原點O做“公轉”（見圖8）時，還在（x′O′y′）x′-y′平面上繞原點O′在做“自轉”（見圖9）.

圖 8 圖 9

現假設（x′O′y′）x′-y′平面上一條平行于x′和x且中心點過O′的直線在（xOy）x-y平面內繞O旋轉的同時，還在（x′O′y′）內繞O′做對應扭轉.其具體對應旋轉的數值為：每當該直線繞O旋轉2°，則會繞O′做對應扭轉1°；當該直線沿（XOY）在X-Y平面上旋轉、位移一周（360°）回到O′點時，該直線本身也在（X′O′Y′）X′-Y′平面上繞O′旋轉半周（180°）回到了O′點.如果順序連接該直線處于雙重三維坐標空間那些被旋轉的同時又被扭轉的各點，就可以得到標準的莫比烏斯圈了.

唯此可以證明：制作和生成莫比烏斯圈必須由雙重三維坐標體系共同完成，所以莫比烏斯圈與普通環圈不是同類物體.

如果用空間維度理論去理解莫比烏斯圈是“非三維”物體，即莫比烏斯圈的生成過程，實際上是雙重三維坐標體系對該圈建立約束的過程；當莫比烏斯圈在該坐標體系內生成時，就形成了對該圈的“非三維”約束；當在該圈表面劃線并沿線裁剪時，其實就是在解除雙重三維坐標體系對被裁剪部分的系統約束，或者說是將被裁剪部分由“非三維”狀態還原成三維狀態.

上述一孔之見有助于解釋——當在三維環境里對莫比烏斯圈的表面上劃線并沿線裁剪：如沿奇數條線對該圈進行裁剪時，則不會出現“窄”莫比烏斯圈；如沿偶數條線對該圈進行裁剪時，則一定出現“窄”莫比烏斯圈這個極為反常的現象.而該反常現象的本質是：由于莫比烏斯圈不是三維物體，而是“非三維”物體，而在三維坐標體系里三維物體與“非三維”物體之間無法進行等量代換.所以當在三維環境里對“非三維”物體進行裁剪時，則該裁剪將無法徹底完成.或者敘述為：三維環境無法將“非三維”物體完全還原成三維狀態，只能對從“非三維”物體上剝離的部分進行還原，而沒有被剝離的部分則會繼續保留原“非三維”物體的原始狀態.

唯此，可以假設：“非三維”產物一旦形成，該“非三維”物體在三維環境里是無法被全部還原成三維狀態；它會持續地保留部分原有的“非三維”狀態，且不會消失，更無法用人為干預的方式將其改變.

三、讓裁剪結果回歸本相

用莫比烏斯圈是“非三維”物體來解釋該圈出現的反常現象，可這樣理解：由于莫比烏斯圈是在相互依存的雙重坐標體系內生成的，當在三維坐標環境里對該圈進行裁剪，其被裁剪的部分就解除了該坐標體系的“非三維”約束，表現為表面被扭轉720°的“窄”普通環圈；而剩余的部分仍保留該“非三維”物體的基本形態，表現為“窄”莫比烏斯圈.這就是對莫比烏斯圈的表面進行劃線并沿線裁剪之后，一定會同時剩余兩種不同性質環圈的根本道理所在.唯此，可以說明：莫比烏斯圈將同時存在兩種性質不同的環圈，且這種狀態會永久存在（不可消失），更無法用人為干預的方式將其改變！

四、結 論

莫比烏斯圈是個“非三維”物體，當在三維坐標環境里對莫比烏斯圈進行裁剪時，是無法將其全部還原成三維物體的；只能對該圈被裁剪的部分進行還原，而未被處理過的剩余部分仍保留其“非三維”狀態，并且這種狀況也不會消失，更無法用人為干預的方式將該性質加以改變.

五、莫比烏斯圈里仍有未解之謎

其實，并非將任何片狀物體表面一扭、一對接成環狀物就能成為莫比烏斯圈.判斷某物體是不是莫比烏斯圈的關鍵要看它是否具有莫比烏斯圈性質：單側的、閉路的、反轉定向的曲面(通體只有一個表面和一條邊緣線).至于莫比烏斯圈里仍然存在著那些鮮為人知的奧秘，我將在專題論文《莫比烏斯圈不是三維物體》和《重新認識莫比烏斯圈》里做進一步的闡述和探討.

當然，提交本文的真實目的是渴望能得到您對莫比烏斯圈、莫比烏斯現象以及莫比烏斯原理作出——更權威的準確詮釋和更睿智的思想升華！

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備注：

本論文的內容來源于數學大師談祥柏先生*對我的教誨以及談老對有關莫比烏斯圈論文的指導意見：“只有將莫比烏斯圈的‘形’與數學中的‘數’相互結合，并找到這‘數’與‘形’之間的內在、必然聯系，才是莫比烏斯圈未來的根本出路！”經過認真領會談老的教誨以及對莫比烏斯圈進一步深入研究發現：繼續研究莫比烏斯圈的充要條件——必須先弄清楚莫比烏斯圈到底是幾維產物，才能弄清楚莫比烏斯圈的空間結構以及存在形態，并最終正確認識莫比烏斯圈！

*談祥柏先生是我國著名的數學教授，現任中國科普作家協會理事.迄今為止正式出版的創作與翻譯書籍已達40種之多，在各種報刊上發表的科普文章將近1000篇.