有限域F_p上冪幺矩陣的分類

【摘要】主要利用最小多項式和特征多項式為主要工具，結合矩陣的循環分解定理，討論了有限域Fp的不可約多項式的構造以及冪幺矩陣的分類，說明了冪幺矩陣存在的一般結論并給出了計算既定維數下Fp上相似形個數的方法.

【關鍵詞】最小多項式；不可約多項式；有限域；周期

n階矩陣A稱為k次冪幺矩陣當且僅當Ak=E且Ai≠E(k∈Z+，1≤i

那么C［f］的最小多項式為f(x).

證明 C［f］的最小多項式為g(x)，易驗證|λE-C［f］|=f(λ)，所以g(x)|f(x)，而deg［g(x)］≥k［2，pp.26-27］，故g(x)=f(x).

事實上F為一給定數域，矩陣A∈Mk(F)，其最小多項式和特征多項式分別記為mA，χA，且記pi(1≤i≤r)為在F［x]上互異且首項系數為1的不可約多項式，那么mA=p1…pr，

χA=pe11…perr.(∑r[]i=1eidegpi=k)且A~C(p1)^[e1]…C（pr）^[er].(ei個C(pi)構成k維準對角矩陣，1≤i≤r)［4.p.2］.

定理2 如果f(x)在Fp上不可約且首項系數為1，其周期為e，那么C［f］為冪幺矩陣且階數為e.

證明 由定義知道g(x)∈Fp［x］，xe-1=f(x)g(x)，從而C［f］e-E=0，Ce［f］=E.這說明了C［f］是冪幺矩陣，進一步如果存在正整數e′(e′

結合文獻［3，pp.107-108］，可知對任意m均可得到Fp上m次的不可約多項式f(x)，f(x)x，且f(x)的周期也即是x+(f(x))的階為pm-1進一步如果以φ(n)表示Fp上次數為n的不可約多項式的個數的話，有φ(n)=1[]npm-1-∑d|n，d

定理3 令A∈GL(K，Fp)，則與其相似的有限矩陣個數由qi個i(1≤i≤k，i∈Z)次不可約多項式的所有k組合數決定，其中qi∈N，滿足q1+2q2+…+kqk=k，并且i次不可約多項式均由φ(i)給定，且同次數不可約多項式兩兩互異.而對于每個相似形，它們的階數由lcm(pv(i)-1)決定，其中“示性”函數v(i)定義為：v(i)=i(qi>0)或 1(qi=0).

例 取p=2，試在GL(3，F2)上給出冪幺矩陣的分類個數，并求出各相似形的階數.

考慮方程q1+2q2+3q3=3，得到非負整數解：(q1，q2，q3)=(3，0，0)或(1，1，0)或(0，0，1).而p=2時，φn由遞推式可得到下面的對應關系式：φ(1)=φ(2)=1，φ(3)=2，φ(4)=3，φ(5)=6，φ(6)=9.對于(3，0，0)，相似不變形只有1種，階數為1；類似地(1，1，0)中給出了1種相形不變形，階數為3；最后在(0，0，1)中表明存在兩種相似不變形，階數均為7.

【參考文獻】

［1］邱森，朱林生.高等代數探究性課題集［M］.武漢：武漢大學出版社，2008.

［2］屠伯塤，徐誠浩，王芬.高等代數［M］.上海：上海科學技術出版社，1987.

［3］石生明.近世代數初步［M］.北京：高等教育出版社，2005.

［4］Reginald Koo，A classification of Matrices of Finite Order over C，R and Q. Mathematics Magazine［J］.Vol.76，No.2，April 2003.