正比例函數(shù)與一次函數(shù)的整合教學(xué)

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，而正比例函數(shù)與一次函數(shù)又是最基本的函數(shù)，是學(xué)習(xí)反比例函數(shù)、二次函數(shù)等的基礎(chǔ)，其理解與掌握程度直接影響以后的學(xué)習(xí).但是由于這部分內(nèi)容的抽象性和復(fù)雜性，學(xué)生接受起來比較困難，所以我們每教授這部分內(nèi)容時(shí)總是絞盡腦汁，用盡千方百計(jì)，也達(dá)不到理想的效果，總有部分學(xué)生理解不透，掌握不好.其難點(diǎn)之一是正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系，之二是函數(shù)解析式與圖像的聯(lián)系，之三是函數(shù)圖像與性質(zhì)的判斷與運(yùn)用，之四是運(yùn)動(dòng)變化與聯(lián)系對(duì)應(yīng)的思想的認(rèn)識(shí)，之五是數(shù)形結(jié)合與函數(shù)建模思想的應(yīng)用等.

在新人教版教材中，編者把函數(shù)的認(rèn)識(shí)與一次函數(shù)的學(xué)習(xí)安排在八年級(jí)上冊(cè)的第十四章§14.2.1認(rèn)識(shí)特殊的一次函數(shù)即正比例函數(shù)（包括定義、圖像、性質(zhì)等），在此基礎(chǔ)上§14.2.2再學(xué)習(xí)一次函數(shù).其目的是從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)與發(fā)展規(guī)律，但筆者認(rèn)為所用課時(shí)較長.為了縮短課時(shí)、降低難度，筆者嘗試了把正比例函數(shù)與一次函數(shù)整合在一起來探索學(xué)習(xí)，取得了較好的效果.以下為本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)，與同行商榷.

一、創(chuàng)設(shè)情境

情境問題一：

1.本校八年級(jí)一班學(xué)生從學(xué)校出發(fā)，乘車去春游，車速是50千米/小時(shí)，寫出汽車與學(xué)校的距離s(千米)與行駛時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù)關(guān)系式，并畫出其圖像.

2.若上面的問題改為：學(xué)生先走10千米后再乘車，車速還是50千米/小時(shí)，此時(shí)汽車與學(xué)校的距離s(千米)與行駛時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù)關(guān)系式又是怎樣的？在同一坐標(biāo)系中畫出圖像.

情境問題二：

1.某登山隊(duì)大本營所在地的氣溫為0 ℃，海拔每升高1 km?dú)鉁叵陆? ℃，登山隊(duì)員向上登高x km時(shí)，他們所在位置的氣溫為y ℃.試寫出y與x的關(guān)系式，并畫出圖像.

2.若上面的問題改為：大本營所在地的氣溫為5 ℃（或-5 ℃），那么y與x的關(guān)系式又是怎樣的？在同一坐標(biāo)系中畫出圖像.

二、自主探究

由前面所學(xué)函數(shù)及其圖像的知識(shí)做基礎(chǔ)，

學(xué)生很容易寫出以上幾個(gè)解析式并畫出圖像.

情境問題一解答：

1.s=50t(t≥0)；

2.s=50t+10(t≥0).

圖像為右上圖.

情境問題二解答：

1.y=-6x(x≥0)；

2.y=-6x+5(x≥0)

或y=-6x-5(x≥0).

圖像為下圖.

探究問題1：以上幾個(gè)函數(shù)解析式有什么共同特征？其圖像有什么特征？

生：函數(shù)解析式都是用自變量的一次式來表示的，圖像都是射線.

師：那么我們就稱這樣的函數(shù)為一次函數(shù)，其一般形式為y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0).特別地，當(dāng)b=0時(shí)，y=kx（k≠0)又稱為正比例函數(shù).

探究問題2：情境問題一中，當(dāng)自變量t(小時(shí))每增加1，s（千米）增加多少？隨著t值的增大s值是如何變化的?情境問題二中，當(dāng)自變量x(km)每增加1，y（℃）減少多少？隨著x值的增大y值是如何變化的?由此你能理解以上函數(shù)圖像為什么都是直線型嗎？

生：情境問題一中，當(dāng)自變量t每增加1，s的值就增加50，s的值隨著t的值的增大而增大；情境問題二中，當(dāng)自變量x每增加1，y的值減少6，y的值隨著x的值的增大而減小.隨著自變量的增加，相應(yīng)的函數(shù)值均勻增加或減少，所以其圖像是直線型.

探究問題3：把以上各題中自變量的取值范圍擴(kuò)大到全體實(shí)數(shù)，它們的圖像又是怎樣的？

生：圖像都是直線.

探究問題4：你能再舉出幾個(gè)一次函數(shù)并畫出其圖像嗎？其圖像與特征與以上幾個(gè)題一樣嗎？

生：略.

三、合作交流

交流問題1：正比例函數(shù)和一次函數(shù)是怎樣的關(guān)系？

交流問題2：直線y=kx和直線y=kx+b（b≠0)有什么關(guān)系？它們的特征是什么?直線y=kx和直線y=kx+b分別過哪些特殊點(diǎn)？

交流問題3：k，b的符號(hào)與直線有怎樣的關(guān)系（直線過哪些象限）？

交流問題4：當(dāng)k＞0時(shí)，直線從左到右上升還是下降？函數(shù)y的值隨x的值的增大而如何變化？當(dāng)k＜0時(shí)，直線從左到右上升還是下降？函數(shù)y的值隨x的值的增大而如何變化？

交流問題5：在實(shí)際問題中，在書寫解析式與畫函數(shù)圖像時(shí)應(yīng)注意什么？

學(xué)生討論交流后，在教師引導(dǎo)下，可以得到以下結(jié)論：

1.正比例函數(shù)(y=kx，k≠0)是特殊的一次函數(shù)(y=kx+b，k≠0)，它們之間具有包含關(guān)系.

2.當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b中的b=0時(shí)，即為正比例函數(shù)y=kx時(shí)，其圖像經(jīng)過原點(diǎn)，當(dāng)b≠0時(shí)，圖像不過原點(diǎn).

3.正比例函數(shù)y=kx是過（0，0）和（1，k）的直線，一次函數(shù)y=kx+b是過（0，b）和-b[]k，0的直線.

4.當(dāng)k＞0時(shí)，直線從左到右上升，函數(shù)y的值隨x的值的增大而增大；當(dāng)k＜0時(shí)，直線從左到右下降，函數(shù)y的值