秀枝一株 嫁接成林

（湖北省黃石市陽新一中 435200）

三次函數(shù)的零點個數(shù)、方程解的個數(shù)、兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)等問題在近幾年的文科數(shù)學(xué)高考中屢屢出現(xiàn)，關(guān)于三次函數(shù)零點個數(shù)的研究，是高中文科數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，見諸各大期刊的研究成果林林總總，精彩紛呈.關(guān)于研究的目的，我認(rèn)為如何讓研究成果更好地服務(wù)于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，才是研究的出發(fā)點和歸宿.本文擬結(jié)合近幾年各地高考調(diào)研試題以及高考真題，對三次函數(shù)的零點個數(shù)在高考題中的演變作跟蹤分析，以期管窺試題命制的常用手段.

一、三次函數(shù)的零點個數(shù)的有關(guān)結(jié)論

設(shè)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，f′(x)=3ax2+2bx+c，令Δ=4b2-12ac.

（1）若Δ≤0，則f(x)在R上單調(diào)，從而f(x)有且只有一個零點.此時f(x)的圖像如下圖所示：

（2）若Δ>0，則f(x）有兩個極值點x1和x2.①f(x1)·f(x2)>0函數(shù)f(x)有一個零點；②f(x1)·f(x2)=0函數(shù)f(x)有兩個零點；③f(x1)·f(x2)<0函數(shù)f(x)有三個零點.

二、結(jié)論在考題中的演變

1.直接運(yùn)用結(jié)論，體現(xiàn)試題命制的直觀性

題案1 （2011年全國100所名校單元測試）函數(shù)f(x)=-x3+x2+x-2的零點個數(shù)及分布情況為（ ）.

A.一個零點，在-∞，-1[]3內(nèi)

B.兩個零點，分別在-∞，-1[]3，（0，+∞)內(nèi)

C.三個零點，分別在-∞，-1[]3，-1[]3，0，(1，+∞)內(nèi)

D.三個零點，分別在-∞，-1[]3，(0，1)，(1，+∞)內(nèi)

題案2 （2009年海口一中模擬題）求函數(shù)f(x)=x3-3ax+2的極值，并說明方程x3-3ax+2=0何時有三個不同的實根？何時有唯一的實根（其中a>0）？

略解 題案1：由結(jié)論（2）得到答案A.

題案2：f(x)極大值=f(-a)=2+2·a3[]2

f(x)極小值=f(a)=2-2·a3[]2>0，過程略.

由結(jié)論③知，當(dāng)f(x)極小值=2-2·a3[]2<0，即當(dāng)a>1時，方程x3-3ax+2=0有三個不同的實根；當(dāng)0

評注 無論是選擇題，還是解答題，其問題的核心都是考查本文提及的三次函數(shù)的零點的個數(shù)的結(jié)論.不同之處是設(shè)問方式的改變，體題命題形式的多樣性.題案1是一道選擇題，突出知識立意，三次函數(shù)是給定的，直接套用結(jié)論即可；題案2作為解答題，側(cè)重能力立意，圍繞上述結(jié)論設(shè)計問題，三次函數(shù)系數(shù)含參，通過上述結(jié)論轉(zhuǎn)化為參數(shù)的不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍，比題案1多了一步轉(zhuǎn)化.

2.逆向運(yùn)用性質(zhì)，體現(xiàn)試題命制的反思性

題案3 （2009年江西）已知函數(shù)f(x)=x3-9[]2x2+6x-a，（1）對于任意實數(shù)x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；（2）若方程f(x)=0有且僅有一個實根，求a的取值范圍.

略解 （1）m≤-3[]4，即m的最大值為-3[]4.

（2）易知f(x)極大值=f(1)=5[]2-a，f(x)極小值=f(2)=2-a.由結(jié)論可知：當(dāng)f(2)>0或f(1)<0時方程f(x)=0僅有一個實根，解得a<2或a>5[]2.

評注 上述題案正是上述性質(zhì)的逆向運(yùn)用，從利用性質(zhì)直接判斷三次函數(shù)零點的個數(shù)到本題案中逆用性質(zhì)求參數(shù)的取值范圍，體現(xiàn)了命題視角的多角度.

3.類比運(yùn)用性質(zhì)，體現(xiàn)試題命制的變通性

題案4 （2008年四川卷（理）第22題）已知x=3是函數(shù)f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一個極值點.

（1）求a；（2）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若函數(shù)y=b與函數(shù)y=f(x)的圖像有三個交點，求實數(shù)b的取值范圍.

略解 （1）a=16.（2）增區(qū)間(-1，1)，(3，+∞)；減區(qū)間(1，3).

（3）設(shè)g(x)=f(x)-b=16ln(1+x)+x2-10x-b，顯然g(x)可以任意大，也可以任意小，故y=g(x)仍然有與三次函數(shù)圖像類似的草圖.易知y=g(x)和y=f(x)的極值相同，所以當(dāng)g(1)·g(3)<0，即(16ln2-9-b)·(16ln4-21-b)<0，即32ln2-21

評注 其實本文中提及的結(jié)論不僅僅適合三次函數(shù)，通過類比，我們發(fā)現(xiàn)很多的函數(shù)都有類似的結(jié)論.題案4正是類比三次函數(shù)的性質(zhì)得到的解法，通過類比我們可以更進(jìn)一步看清這類題目的本質(zhì)，更好地揭示它的根源，從而能夠更深刻地理解本文結(jié)論.值得注意的是，新課改后的課本有類比推理一節(jié)，類比推理在高考壓軸題中考查的頻率也有提高.

“會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”，只要我們站在研究的高度去審視數(shù)學(xué)問題，就能“高屋建瓴”，正本清源，看清本質(zhì).