《黃河清“問題導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法》習(xí)題課教學(xué)課例評(píng)析

習(xí)題課是中學(xué)數(shù)學(xué)課常見的一種課型，它的主要任務(wù)是：針對學(xué)生所學(xué)知識(shí)的難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)，通過習(xí)題講解或訓(xùn)練，幫助學(xué)生提高對所學(xué)知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成一定的解題技能、技巧，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想，發(fā)展思維能力.

“黃河清問題導(dǎo)學(xué)教學(xué)法”習(xí)題課教學(xué)模式，將教學(xué)過程分為四個(gè)環(huán)節(jié)：知識(shí)回顧—例題講解—方法總結(jié)—應(yīng)用探究.每個(gè)環(huán)節(jié)都有明確的教學(xué)核心要素，它的實(shí)施對有效提高教學(xué)效益、促進(jìn)學(xué)生能力的發(fā)展都起著重要的作用.

下面以黃河清老師“怎樣審題”一節(jié)課的教學(xué)為例，就“四環(huán)節(jié)”的實(shí)施及作用進(jìn)行簡要地解讀.（注：教學(xué)過程有刪減）.

一、知識(shí)回顧

審題是解題各環(huán)節(jié)的重中之重.通過審題，讀懂題目的含義，發(fā)現(xiàn)其闡述問題的本質(zhì)特征，明確解題最終要達(dá)到的目標(biāo)，從中尋求解題的方向和辦法.練好審題的基本功是迅速提高解題能力的關(guān)鍵.這節(jié)課，我們就來研究“審題”的基本策略.

問題1：你在審題時(shí)，通常做哪些工作？

著名數(shù)學(xué)家波利亞曾在《怎樣解題》一書中對如何審題作過精辟的論述，他認(rèn)為，審題有三個(gè)基本步驟：理解題意；明確條件和要求；盡可能畫出直觀圖或示意圖.這幾個(gè)步驟，深刻闡明了審題過程的基本結(jié)構(gòu)，它不僅是啟發(fā)數(shù)學(xué)解題思維的具體方法，也是解題應(yīng)該遵循的基本原則，是數(shù)學(xué)解題方法的精髓.那么，這些實(shí)施策略我們在解題中怎樣去落實(shí)呢？

我認(rèn)為要抓住三個(gè)關(guān)鍵：

一是讀題——學(xué)會(huì)問“是什么”.要注重把題目每一個(gè)條件的含義都能“讀”出來，“它”是什么？這是引發(fā)思維的關(guān)鍵，也是審題的重要任務(wù).

二是注重?cái)?shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化——挖掘題目信息.數(shù)學(xué)命題通常以三種語言方式來呈現(xiàn)：文字語言、符號(hào)語言、圖形語言，每種語言都從特定的視角描述了數(shù)學(xué)問題的實(shí)質(zhì)，具有鮮明的啟發(fā)性，要能夠熟練地對命題進(jìn)行“三種語言”的相互轉(zhuǎn)化，從多層面上去理解、發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)屬性.

三是明確解題目標(biāo)——知道我們要做什么.數(shù)學(xué)問題的解決更多運(yùn)用的是分析綜合法，“執(zhí)因?qū)す焙汀皥?zhí)果尋因”都是重要的解題方式.因此對“果”即解題目標(biāo)“是什么、需要什么條件”的分析、判斷都必須在審題環(huán)節(jié)中加以解決，這就需要認(rèn)真分析題目要求，并根據(jù)這一要求去尋找所需的條件，這是“審題”中重要的一環(huán).

二、例題講解

【例1】 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a＞b＞c)圖象上有兩點(diǎn)A(m1，f(m1)），B(m2，f(m2))，f(x)滿足f(1)=0，a2+［f(m1)+f(m2)］·a+f(m1)f(m2)=0.



（Ⅰ）求證：b≥0；

（Ⅱ）求證：f(x)的圖象被x軸所截得的線段長的取值范圍是［2，3)；

（Ⅲ）能否得出f(m1+3)、f(m2+3)中至少有一個(gè)為正數(shù)？請證明你的結(jié)論.

我們怎樣做好“讀題”、“語言轉(zhuǎn)化”、“明確目標(biāo)”呢？

首先，認(rèn)真讀題，分析題目條件的特征，把信息盡可能挖掘出來.

條件1：二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a＞b＞c).

問題2：這是一條什么樣的拋物線？（能把圖形想象出來了嗎？）

條件2：f(1)=0.

問題3：等式f(1)=0的含義是什么？

從函數(shù)值的概念可知a+b+c=0. ①

從方程的概念可知1是f(x)=0的一個(gè)根，則另一根是ca. ②

由①和題目條件a＞b＞c可知a>0，c<0. ③

從而回答了問題2：這是一條開口向上、以1和ca為根的拋物線.

條件3：a2+［f(m1)+f(m2)］·a+f(m1)f(m2)=0.

問題4：給出一個(gè)一元二次方程說明什么？能求根嗎？

因式分解后可得［a+f(m1)］［a+f(m2)］=0

f(m1)=-a或f(m2)=-a

m1或m2是f(x)=-a的一個(gè)實(shí)根Δ≥0.



問題5：（Ⅱ）中“f(x)的圖象被x軸所截得的線段長”是什么含義？

就是兩根1和ca的距離即|1-ca|.

問題6：（Ⅲ）中“f(m1+3)、f(m2+3)中至少有一個(gè)為正數(shù)”是什么含義？

由于這是一條開口向上的拋物線，兩根分別為1和ca，要證明f(m1+3)＞0.只要證明m1+3在兩根之外即可.

解：（1）證明：因?yàn)閒(m1)，f(m2)滿足a2+［f(m1)+f(m2)］a+f(m1)f(m2)=0，

即［a+f(m1)］［a+f(m2)］=0，

∴f(m1)=-a或f(m2)=-a.

∴m1或m2是f(x)=-a的一個(gè)實(shí)根，

∴Δ≥0，即b2≥4a(a+c).

∵f(1)=0，∴a+b+c=0.

∴b=-(a+c)，

∴b2+4ab≥0，b(b+4a)＞0.

又a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，∴3a-c＞0，

∴b+4a=3a-c＞0，∴b≥0.



（2）證明：設(shè)f(x)=ax2+bx+c=0的兩根為x1，x2，若一個(gè)根為1，則另一根為ca，

又∵a＞0，c＜0，∴ca＜0.

∵a＞b＞c且b=-a-c≥0，

∴a＞-a-c＞c，∴-2＜ca≤-1，

2≤|x1-x2|＜3.

(3)設(shè)f(x)=a(x-x1)(x-x2)=a(x-1)(x-ca).

由已知f(m1)=-a或f(m2)=-a，

不妨設(shè)f(m1)=-a，則

a(m1-1)(m1-ca)=-a＜0.

∴ca＜m1＜1，∴m1+3＞ca+3＞1，

∴f(m1+3)＞f(1)＞0，∴f(m1+3)＞0.

同理，當(dāng)f(m2)=-a時(shí)，有f(m2+3)＞0.

∴f(m2+3)或f(m1+3)中至少有一個(gè)為正數(shù).



三、方法總結(jié)

問題7：審題“三個(gè)關(guān)鍵”的探索體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)思想？

審題的“三個(gè)關(guān)鍵”，不僅是解決問題的宏觀策略，也是解決問題的具體方法.這“三個(gè)關(guān)鍵”中，“語言轉(zhuǎn)化”是橋梁，將“是什么”和“做什么”溝通起來，讓問題特征直觀化，啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)問題的解決思路和辦法.同時(shí)，這“三個(gè)關(guān)鍵”的探索，充分運(yùn)用了中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最重要的幾種數(shù)學(xué)思想方法，需要很好去理解和掌握：

一是“轉(zhuǎn)化”的思想.數(shù)學(xué)問題的解決過程實(shí)質(zhì)上就是問題相互轉(zhuǎn)化的過程，而“數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化”給出了審題如何“轉(zhuǎn)化”的基本途徑；

二是“數(shù)形結(jié)合”思想.“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)研究中既有區(qū)別又有聯(lián)系的兩個(gè)對象，“語言轉(zhuǎn)化”將抽象的數(shù)量關(guān)系形象化，直觀性強(qiáng)，易理解、易接受；同時(shí)，學(xué)會(huì)將直觀圖形數(shù)量化，化成數(shù)學(xué)運(yùn)算，降低難度，會(huì)對知識(shí)的理解更深刻.

三是“分析綜合”思想方法.環(huán)節(jié)3“明確解題目標(biāo)——知道我們要做什么”

中的“執(zhí)因?qū)す焙汀皥?zhí)果尋因”，是思考解決數(shù)學(xué)問題的兩條基本途徑，也是正向思維和逆向思維的具體運(yùn)用.

四、應(yīng)用探究

【例2】 設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如右圖所示，

|x1|<|x2|，則f(－1)+f(1)（ ）.

A．大于0 B．等于0

C．小于0D．不能確定

分析：

圖形語言“轉(zhuǎn)化”為文字語言：

圖象過原點(diǎn)，方程有三個(gè)根，一零根一正根一負(fù)根，且正根比負(fù)根絕對值大，函數(shù)圖象有大于零的部分，也有小于零的部分，函數(shù)無最大最小值，在區(qū)間上具有單調(diào)性……

文字語言“轉(zhuǎn)化”為符號(hào)語言進(jìn)行推理：

圖象過原點(diǎn)d=0；

一正根一負(fù)根，且正根比負(fù)根絕對值大x1+x2＞0，x1x2＜0；

函數(shù)圖象有大于零的部分x∈(0，x2)時(shí)，f(x)＞0……

題設(shè)要求的式子f(－1)+f(1)=2b，即要判斷b的符號(hào)就可以了.

解析：圖象過原點(diǎn)d=0f(x)=x(ax2+bx+c)=xa(x-x1)(x-x2). ①

|x1|<|x2|x1+x2=-ba＞0，x1x2=ca＜0. ②

f(－1)+f(1)=-a+b-c+a+b+c=2b.



由圖象知，當(dāng)x∈(0，x2)時(shí)，f(x)＞0，由①可知a＜0，由②得b＞0，故選A.

練習(xí)：（略）

下面就本節(jié)習(xí)題課“四環(huán)節(jié)”的教學(xué)實(shí)施上，如何進(jìn)行“問題導(dǎo)學(xué)”的一些特點(diǎn)，來探討黃老師的教學(xué)思想和教學(xué)智慧.

一、知識(shí)回顧

知識(shí)回顧是習(xí)題課重要的教學(xué)環(huán)節(jié).學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)和方法能否形成合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，能否正確地理解和掌握知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，教師適時(shí)對知識(shí)進(jìn)行梳理、整合、強(qiáng)調(diào)、深化至關(guān)重要.

這一環(huán)節(jié)上，黃老師提出了“問題1：你在審題時(shí)，通常做哪些工作？”引導(dǎo)學(xué)生從自己習(xí)慣的思維方式上去回顧知識(shí)，這是十分必要的.因?yàn)槊總€(gè)人的思維習(xí)慣是不一樣的，它對問題的理解和看法也會(huì)有所不同，記憶的方式也各有特點(diǎn).因此，教師讓學(xué)生思考問題時(shí)，要注重從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，充分考慮學(xué)生學(xué)習(xí)的特點(diǎn)和思維的習(xí)慣，鼓勵(lì)、引導(dǎo)學(xué)生通過自己熟悉的學(xué)習(xí)和記憶的方式去進(jìn)行.

在此基礎(chǔ)上，黃老師對波利亞審題策略作了很好的解讀，提出要抓好三個(gè)關(guān)鍵：一是讀題——學(xué)會(huì)問“是什么”；二是注重?cái)?shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化——挖掘題目信息；三是明確解題目標(biāo)——知道我們要做什么.這樣，使學(xué)習(xí)內(nèi)容做到主題鮮明，讓學(xué)生的思維有一條明確清晰的主線，便于學(xué)生聯(lián)想和運(yùn)用.

二、例題講解

例題的解題思路、步驟和模式，是傳授數(shù)學(xué)知識(shí)、展示數(shù)學(xué)思想方法、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的重要載體.習(xí)題課的例題選取，要圍繞需鞏固的知識(shí)與方法這一目標(biāo)去設(shè)置，使講解的過程成為知識(shí)再現(xiàn)的過程，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的針對性.

本環(huán)節(jié)，黃老師設(shè)置了五個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生對審題“三個(gè)關(guān)鍵”的特點(diǎn)進(jìn)行分析，提高認(rèn)識(shí)：

1.讀題——學(xué)會(huì)問“是什么”

怎樣把題目的每一個(gè)條件的含義都能“讀”出來，一個(gè)重要的方法就是問“是什么”，這是引發(fā)思維的關(guān)鍵，也是審題的重要任務(wù).通過“問題3：等式f（1）=0的含義是什么？”可以引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”的觀點(diǎn)上去分析（函數(shù)值概念），可知a+b+c=0①，從方程概念亦可知：1是f(x)=0的一個(gè)根，則另一根是ca②；如果從“形”的角度考慮，方程是否有兩個(gè)根，根是什么？也能得出關(guān)系式②.①式學(xué)生容易想到，而②式學(xué)生是不易發(fā)現(xiàn)的，需要教師通過好的問題啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生思考后發(fā)現(xiàn).

2.數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化——挖掘題目信息

審題，要讓學(xué)生能熟練地對命題進(jìn)行“三種語言”的相互轉(zhuǎn)化，引發(fā)對問題多層面的思考與發(fā)現(xiàn)，尋找問題的本質(zhì)屬性，這是訓(xùn)練的一個(gè)重點(diǎn).黃老師在這五個(gè)問題中，每個(gè)問題都緊緊圍繞“三種語言”的轉(zhuǎn)化，如“問題5：f(x)的

圖象被x軸所截得的線段長是什么含義？就是兩根1和ca的距離，即|1-ca|”；“問題6：f(m1+3)、f(m2+3)中至少有一個(gè)為正數(shù)是什么含義？由于這是一條開口向上的拋物線，兩根分別為1和ca，要證明f(m1+3)＞0.只要證明m1+3在兩

根之外即可”.引導(dǎo)學(xué)生通過直觀圖形理解問題的本質(zhì)特征，讓學(xué)生深刻地感受到語言轉(zhuǎn)化的啟發(fā)功能，從而樹立“語言轉(zhuǎn)化”的意識(shí).

3.明確解題目標(biāo)——知道我們要做什么

審題，不僅要弄清題目的條件，解決我們“已經(jīng)知道什么”的問題，還要解決我們到底“還要做什么”的問題，這就需要明確解題目標(biāo).事實(shí)上，數(shù)學(xué)問題的解決更多運(yùn)用的是分析綜合法，“執(zhí)因?qū)す焙汀皥?zhí)果尋因”都是重要的解題方式.因此，在審題環(huán)節(jié)中必須解決對“果”即解題目標(biāo)“是什么、需要什么條件”的分析和判斷，這就需要認(rèn)真分析題目要求，并根據(jù)這一要求去尋找所需的條件，尋找解題的方向.如問題5、問題6都有這種明確的思維目標(biāo)和啟發(fā)意義.

三、方法總結(jié)

習(xí)題課是教師以鞏固知識(shí)為目的教學(xué)，因此“方法總結(jié)”環(huán)節(jié)更重在引導(dǎo)學(xué)生“領(lǐng)悟”，這是一種更深層次的思考.

在這一環(huán)節(jié)中，黃老師以讓學(xué)生分析審題“三個(gè)關(guān)鍵”所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想為抓手，引導(dǎo)學(xué)生自主領(lǐng)悟.主要強(qiáng)化兩個(gè)方面：一是“悟”基本的知識(shí)要求.分析“三個(gè)關(guān)鍵”的特點(diǎn)，讓學(xué)生抓住“語言轉(zhuǎn)化”這一根本，學(xué)習(xí)理解審題的本質(zhì)，“知其然亦知其所以然”，將方法變成“自己”的方法；二是“悟”蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想.如果說例題的解題方法是實(shí)施層面的“技巧型”的辦法，那么怎樣感悟其背后蘊(yùn)藏著的豐富的數(shù)學(xué)思想就更為重要.因?yàn)閿?shù)學(xué)思想是一種策略上的全局性的方法，要真正做到能舉一反三、觸類旁通，就必須要有這種高度和意識(shí)，只有這樣才能在復(fù)雜多變的數(shù)學(xué)問題面前有思路、有辦法.這正是“問題導(dǎo)學(xué)”著力推崇的教學(xué)思想，也是黃老師在教學(xué)上十分注重實(shí)施的一種教學(xué)手段和教學(xué)特色.

四、應(yīng)用探究

習(xí)題課“應(yīng)用探究”環(huán)節(jié)的主要抓手就是“再現(xiàn)性”問題，即以例題所考察的知識(shí)與方法為主要內(nèi)容，不斷引申、變化，讓學(xué)生通過類比、遷移等方式達(dá)到熟悉知識(shí)、熟練方法的目的.事實(shí)上，學(xué)生對方法的學(xué)習(xí)，常常有一個(gè)模仿的過程，力圖實(shí)現(xiàn)解題的類化，這是學(xué)生認(rèn)知上的必然需求，只有在此基礎(chǔ)上才會(huì)逐步學(xué)習(xí)領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想并形成解題能力.因此，本節(jié)課，黃老師設(shè)置了“重復(fù)再現(xiàn)”和“變式再現(xiàn)”的例2讓學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生怎樣由“圖形”讀出問題的“內(nèi)涵”，感受文字語言起的重要作用.同時(shí)，又很好地幫助學(xué)生自主把“文字”轉(zhuǎn)化為符號(hào)，深挖問題的本質(zhì)特征，發(fā)現(xiàn)解題思路，針對性非常強(qiáng)，讓人深為贊嘆.這也給我們很深的啟示：“問題導(dǎo)學(xué)”下的習(xí)題課，“問題”設(shè)置要目的明確，注重層次性，強(qiáng)化學(xué)生對問題的理解和深化，形成自我判斷力，提高再認(rèn)知能力.

本節(jié)習(xí)題課中，黃老師選取內(nèi)容的視角也讓人深受啟發(fā).通常的習(xí)題課，大家更關(guān)注的是某一類型問題的解題方法，而較少從怎樣解讀解題模式本身去構(gòu)建習(xí)題課的內(nèi)容.因此，學(xué)生對解決問題的宏觀策略常常認(rèn)識(shí)不深，使得問題的解決缺少高立意，更多處在“雕蟲小技”的層面上，這對開拓學(xué)生的思維空間、完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力是不利的.同時(shí)，本節(jié)課“問題設(shè)置”匠心獨(dú)具，通過“問題”很好地促進(jìn)了學(xué)生的積極思考，或者說讓學(xué)生得到了高水平的思維訓(xùn)練，課堂上師生間、生生間的溝通非常頻繁、順暢，充分體現(xiàn)了黃老師對教學(xué)的理解和堅(jiān)持：教學(xué)是為了讓“學(xué)生學(xué)得更好”而不是“教師講得過癮”.真正把“以生為本”體現(xiàn)在了課堂教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)上，給我們作出了很好的示范，很值得我們學(xué)習(xí)、借鑒.

(責(zé)任編輯 金 鈴）