運用整體思想解決初中數學問題

所謂整體思想，就是在解數學題時，從大處著眼，由整體入手，把一些彼此獨立實質上卻緊密聯系的量作為整體考慮的思想方法.這種思想方法在解決一些問題時有著非常重要的應用，常可使許多按常規方法解比較麻煩甚至不可解的問題得到快速便捷的解答.

一、代數中的整體思想

在一些代數式的計算中，可以根據問題的條件和結論，選擇一個或幾個代數式，將它們看成一個整體，靈活地進行整體代換，從而達到化繁為簡、化難為易的目的.

【例1】 已知1m+1n=3，則m+2mn+n2m+mn+2n= .

分析：根據條件，顯然無法計算出m和n的值.通過觀察發現，只要能在所求代數式中構造出1m+1n的形式，結果就顯而易見了.

解：原式＝1n+2+1m

2n+1+2m

=

1n+1m+2

2(1n+1m)+1

=

3+26+1=57.



說明：這道題目還可以從不同角度，利用其他變形方法構建整體模型.比如，可以將條件變形為m+n=3mn，或變形為mn=m+n3，再整體代入求解.

二、幾何中的整體思想

在幾何題目中，有時會遇到一些圖形，按照常規的方法無法求得所需的結果，這時若考慮運用整體思想，溝通題設條件與特殊圖形之間的關系，跳出定式思維，反而能使復雜問題變得簡單，陌生問題變得熟悉.

圖1

【例2】 如圖1，在四邊ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠B=∠D＝90°，求四邊形ABCD的面積.

分析：這是一個不規則圖形問題，欲求它的面積，可以從我們熟悉的圖形來考慮，比如三角形、正方形、梯形、平行四邊形等，這些規則圖形的面積是有公式可循的.

解：延長AD、BC相交于點E（如圖1）.

在Rt△ABE中，∠A=60°，AB=2，∴BE=AB·tanA=23.

在Rt△CDE中，CD=1，∠ECD=180°-∠BCD=60°，

∴DE=CD·tan∠ECD=1×tan60°=3.

∴S四邊形ABCD=S△ABE-S△CDE=12AB·BE-12CD·DE=12×2×23-12×1×3=332.



說明：這道題也可以利用不同補形方式構造整體模型，可以把原四邊形補成個矩形、直角梯形、等邊三角形或平行四邊形，所求面積是幾個圖形的差.（如圖2-圖5）



圖2 圖3 圖4 圖5

三、綜合題中的整體思想

【例3】 如圖6，邊長為1的正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割為四個小矩形，EF與GH交于點P，若Rt△GBF的周長為1，求矩形EPHD的面積.

分析：這是一道綜合性比較強的題目，要運用代數中的整體思想解決幾何問題，可以從結果入手.如果設DE＝x，DH＝y，則矩形EPHD的面積就是xy，而Rt△GBF的周長為1，因此要構造xy這個整體與Rt△GBF周長之間的關系.

圖6

解：(方法一)設DE=x，DH=y，則BG=1-y，BF=1-x.

∵Rt△GBF的周長為1，

∴GF=x+y-1.在Rt△GBF中利用勾股定理得：(1-x)2+(1-y)2=(x+y-1)2，展開并整理得：2xy=1.

∴S矩形EPHD=xy=12.

說明：這道題也可以用其他方法將問題中的條件和結論進行適當地配湊，使之結構形式特殊化、公式化，以達到解答問題的目的.

（方法二）設DE=x，BG=y，則BF=1-x，DH=1-y，GF=x-y.由勾股定理得(1-x)2+y2=(x-y)2，整理得1-2x=-2xy，而S矩形EPHD=x(1-y)=x-xy，可以視x-xy為整體，即x-xy=12.

（方法三）設GB=x，BF=y，則GF=1-x-y，由勾股定理得x2+y2=(1-x-y)2，

整理得xy=x+y-12，又因S矩形EPHD=(1-x)(1-y)=1-x-y+xy，所以需要xy或-(x+y)為整體.從而整體代入求得面積.

通過上面的一些例子可以看到，適當運用整體思想解題不僅使解題過程簡潔明快，而且富有創造性.在思考問題時，整體思維的意識能使一些復雜問題簡單化，從而提高解題速度，優化解題過程，在解題過程中“柳暗花明又一村”.

(責任編輯 金 鈴）