淺談數(shù)學(xué)思想方法在教材中的滲透

所謂數(shù)學(xué)思想，就是對數(shù)學(xué)知識和方法的本質(zhì)認(rèn)識，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識.所謂數(shù)學(xué)方法，就是解決數(shù)學(xué)問題的根本程序，是數(shù)學(xué)思想的具體反映.數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的行為.新的《課程標(biāo)準(zhǔn)》突出強調(diào)“在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)好概念的基礎(chǔ)上掌握數(shù)學(xué)的規(guī)律（包括法則、性質(zhì)、公式、公理、定理、數(shù)學(xué)思想和方法）”.因此，一堂課，教師除了要給學(xué)生傳授知識外，還要讓學(xué)生感受一些數(shù)學(xué)思想，充分引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的精髓.本文以八年級（上）人教版教材為例，談一談數(shù)學(xué)思想方法的滲透.

一、類比思想

類比思想即在數(shù)學(xué)上根據(jù)兩個對象之間在某些方面的相似或相同，從而推出它們在其他方面也可能相似或相同的一種邏輯推理的方法.

例如，在講解平方根時，其主要內(nèi)容是研究平方根的概念和求法，教材編排順序是先從具體的計算出發(fā)類比給出平方根的概念，然后研究平方根的特征.而在課本中，算術(shù)平方根的概念、表示方法都是學(xué)生原有的知識.為了建立平方根的概念，可以充分“借用”算術(shù)平方根有關(guān)概念的產(chǎn)生過程，進(jìn)行類比.

新知識通過舊知識類比聯(lián)系，既有利于復(fù)習(xí)鞏固舊知識，又有助于學(xué)生對新知識的理解和掌握.

二、歸納類推思想

歸納類推思想，是由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理稱為歸納推理（簡稱歸納）.簡而言之，歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理.

例如，學(xué)生學(xué)習(xí)了平方差公式后，遇到如下問題：

觀察下列各式（x-1）（x+1）=x2-1；（x-1）（x2+x+1）=x3-1；（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1…….根據(jù)前面的各式的規(guī)律可得到（x-1）（xn+xn-1+…+x+1）= .（其中n為正整數(shù)）

對于這個問題，教師主要引導(dǎo)學(xué)生觀察各等式：即左式都是兩個多項式相乘，都有多項式x-1，而與x-1相乘的多項式x+1，x2+x+1，x3+x2+x+1…，均呈降冪排列，而各等式中的右式對應(yīng)的積為x2-1，x3-1，x4-1…，其第一項x2，x3，x4…的指數(shù)，比與其對應(yīng)的左式第二個因式的第一項的指數(shù)都大1，因此(x-1)(xn+xn-1+…x+1)=xn+1-1.

三、分類討論思想

當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象按某個標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答.分類討論思想的實質(zhì)是教師為了解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，而采取的一種各個擊破的數(shù)學(xué)思想方法.

例如，在教學(xué)教材第131頁“一次函數(shù)”的課題學(xué)習(xí)時，出示問題：一種節(jié)能燈的功率為10瓦（即0.01千瓦），售價為60元；一種白熾燈功率為60瓦（即0.06千瓦），售價為3元.兩種燈的照明效果一樣，使用壽命也相同（3000小時以上）.如果電費價格為0.5元/（千瓦·時），消費者選用哪種燈可以節(jié)省費用？

對于這個問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先設(shè)照明時間為x小時，然后分別列出節(jié)能燈的總費用y1、白熾燈的總費用y2與照明時間的函數(shù)解析式，如下：

y1=0.5×0.01x+60，即y1=0.005x+60，

y2=0.5×0.06x+3，即y2=0.03x+3.

最后引導(dǎo)學(xué)生觀察討論，學(xué)生們一致認(rèn)為，可以分三種情況：即可按節(jié)能燈省錢y1＜y2，白熾燈省錢y1＞y2，使用兩種燈的費用相等y1=y2，三種情況進(jìn)行討論.最后經(jīng)過解不等式或方程得到當(dāng)照明時間超過2280小時的時候，消費者選用節(jié)能燈可以節(jié)省費用；當(dāng)照明時間等于2280小時的時候，消費者選用白熾燈和節(jié)能燈的費用相同；當(dāng)照明時間少于2280小時的時候，消費者選用白熾燈可以節(jié)省費用.

四、方程思想

方程思想是指根據(jù)問題的條件或結(jié)論，列出方程或方程組，通過解方程或解方程組從而解決問題.

例如，在講解等腰三角形性質(zhì)時，教材第50頁中有一道例題：

圖1

如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數(shù).

對于這個問題，教師要引導(dǎo)學(xué)生抓住AB=AC，BD=BC=AD這個條件，得出∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，而∠BDC是△ABD的一個外角，設(shè)∠A=x，則∠BDC=∠A+∠ABD=2x，從而得∠ABC=∠C=∠BDC=2x.再利用三角形的內(nèi)角和為180°得到方程x+2x+2x=180°，解方程的x=36°，即∠A=36°.最后，可求出其他兩個角均為72°.

五、數(shù)形結(jié)合思想

所謂數(shù)形結(jié)合，是指根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想.數(shù)學(xué)大師華羅庚曾經(jīng)說過“數(shù)離開形，缺直觀；形離開數(shù)，難入微”.

在講解一次函數(shù)圖像與性質(zhì)時，可以通過圖形來表示，而借助這個圖形又可以直觀地分析出一次函數(shù)的性質(zhì)和特點.在講解函數(shù)與方程、不等式之間的聯(lián)系時，教師要引導(dǎo)學(xué)生將它們的“形”與對應(yīng)的“數(shù)”結(jié)合起來.這樣，往往很多問題都會迎刃而解，且解題方法簡潔獨特.

圖2

例如，在講了一次函數(shù)與不等式的關(guān)系的后，教師出示了圖2，讓學(xué)生觀察并討論右圖，提問誰能用最簡單的方法解不等式0.5x+1＞0.有的同學(xué)索性用練習(xí)本在下面解這個不等式，得到x＞-2.但有的學(xué)生說，此題不用解了——若要使0.5x+1＞0，就是一次函數(shù)y=0.5x+1大于0時，求自變量x的取值范圍.即當(dāng)x取何值時，這條直線上的點在x軸上方.從圖像可看出，當(dāng)x＞-2時，0.5x+1＞0.

可見，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合能使問題的解答變得簡單明了.

六、整體思想

整體思想是指從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的的、有意識的整體處理.

例如，在“因式分解”這節(jié)中，出現(xiàn)了這樣一個問題：

因式分解：a2+2a(b+c)+(b+c)2.

對于這個問題，要引導(dǎo)學(xué)生觀察題目特征，去發(fā)現(xiàn)題中有一部分可以看作一個整體，即b+c；只要設(shè)b+c=m，原式可簡化為完全平方式a2+2am+m2，即可進(jìn)一步輕松把原式因式分解.由此，學(xué)生能真正體會到用整體思想解題的好處.

七，化歸思想

化歸思想方法是指在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時，采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決的一種方法.教育家波利亞曾經(jīng)說過“解數(shù)學(xué)題轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，就是把那些陌生的、較為困難或復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)問題，通過某種轉(zhuǎn)化方式轉(zhuǎn)化為某些熟悉的、已經(jīng)解決的或容易解決的數(shù)學(xué)問題”.

例如，兩條直線交點問題可化歸為求兩個方程組的解.

已知直線l1：y=2x-1，l2：y=-0.5x+1，求直線l1與直線l2的交點坐標(biāo).

教師可引導(dǎo)學(xué)生弄清兩直線的交點A（x1，y1），說明點A（x1，y1）既在直線L1上，又在直線L2上，故點A（x1，y1）既滿足L1的表達(dá)式，又滿足L2的表達(dá)式.所以，同時滿足兩個方程的一對未知數(shù)的值x，y就是兩表達(dá)式組成的方程組的解.這樣，學(xué)生就可以把直線交點的問題化歸為求方程組的解，從而對此類題目有一個較明確形象的理解.

八、逆用思想

逆用思想是指逆用某些數(shù)學(xué)公式、法則解決問題.

例如，教學(xué)冪的運算的性質(zhì)時，碰到這樣的問題：計算0.252012×42011.

若將0.252012和42011分別乘方再把所得的冪相乘，運算會十分麻煩，且現(xiàn)有知識也無法實現(xiàn)；若將冪的運算形式逆向運用，問題的解答就簡便多了，即0.252012×42011=0.252011×0.25×42011=（0.25×4）2011×0.25=12011×0.25=0.25.

新課程中的數(shù)學(xué)思想遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些.為了培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、靈活性、敏捷性和創(chuàng)造性，教師應(yīng)在教學(xué)中認(rèn)真鉆研教材，充分挖掘，把各種數(shù)學(xué)思想滲透到平時的教學(xué)實踐中去.

(責(zé)任編輯 黃桂堅）