高考幾何探索性問題題型特征及其突破策略

探索性問題是近年高考數學中的熱點、難點，此類題背景新穎，設問獨特，解法靈活多變，因此我們對高考中幾何探索性問題的題型特征和突破策略做一探究，供參考．

題型1 探索條件

基本特征：針對一個結論，條件未知需探索，或條件增刪需確定，或條件正誤需判斷．

【例1】 （浙江）如圖1，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點，F為線段EC(端點除外)上一動點，現將平面AFD沿AF折起，使平面AFD⊥平面ABC，在平面ABD內過點D作DK⊥AB，K為垂足，設AK=t，求t的取值范圍.

圖1 圖2

解析：如圖2，破解此題可采用兩個極端位置法.對于F位于DC的中點時，t=1，隨著F點到C點時，因CB⊥AB，CB⊥DK，∴CB⊥平面ADB，即有CB⊥BD，對于CD=2，BC=1，∴BD=3.又AD=1，AB=2，因此有AD⊥BD，則有t=12，因此t的取值范圍是(12，1).

突破策略：執果索因，反溯探求

解決此類問題可以執果索因，先尋找結論成立的必要條件，再通過檢驗或認證找到結論成立的充分條件．

題型2 探索結論

基本特征：有條件而無結論或結論的正確與否需要確定．此種題型常見于含有參數的問題，或者情況多種的問題．

【例2】 （海南）已知橢圓C的中心為直角坐標系xOy的原點，焦點在x軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1．

（1）求橢圓C的方程；（2）若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的點，|OP|｜OM｜=λ，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

解析：（1）設橢圓長半軸長及半焦距分別為a，c，由已知得a-c=1，a+c=7，解得a=4，c=3，所以橢圓C的標準方程為x216+y27=1．

（2）設M(x，y)，其中x∈［-4，4］，則點P和點M橫坐標相同，代入橢圓方程可得其縱坐標，即P(x，112-7x216)，由已知得|OP|2|OM|2=λ2，代入兩點間距離公式，再由點P在橢圓C上，可得9x2+11216(x2+y2)=λ2．整理得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112，其中x∈［-4，4］．

①當λ=34時．化簡得9y2=112，所以點M的軌跡方程為y=±473(-4≤x≤4)，軌跡是兩條平行于x軸的線段．

②當λ≠34時，方程變形為x2

11216λ2-9

+y2

11216λ2

=1，其中x∈［-4，4］．

當0＜λ＜34時，軌跡為中心在原點、實軸在y軸上的雙曲線滿足-4≤x≤4的部分；

當34＜λ＜1時，軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓滿足-4≤x≤4的部分；

當λ≥1時，軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓．

突破策略：執因索果，直接探求

對于此類給定條件、尋求相應結論的探索性問題，我們可執因索果，直接探求結論，對于其中含參數的探索性命題，其突破策略是對參數進行分類討論．

題型3 探索是否存在

基本特征：判斷在某些確定條件下的某一數學對象(數值、圖形、函數等)是否存在．

【例3】 （全國）給定雙曲線x2-y22=1．

過點B(1，1)能否作直線m，使m與所給雙曲線交于兩點Q1、Q2，且點B是線段Q1Q2的中點?這樣的直線m如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由．

解析：設所求直線m的方程為y=k(x-1)+1，并設Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，

∴y=k(x-1)+1，x2-y22=1，

消y去，得(2-k2)x2+(2k2-2k)x+(2k-k2-3)=0，

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