小議一道課本習(xí)題的拓展與解法
2012-01-01 00:00:00李青毅
中學(xué)教學(xué)參考·理科版 2012年5期
在《數(shù)學(xué)》九年級上冊（人教版）的第138頁中有一道習(xí)題：
4.一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個岔路口都會隨機(jī)地選擇一條路徑，它獲得食物的概率是多少？
解：如圖2，在岔路口和樹枝末端分別標(biāo)上字母A、B、C、D、E、F、G、H、I、J，
則螞蟻所有可能經(jīng)過的路徑有：
ABE，ABF，ACG，ACH，ADI，ADJ共6種等可能的結(jié)果，而能獲取食物的可能結(jié)果有2種，即ACG和ADI，所以螞蟻獲取食物的概率是：
P（獲取食物）=26=13.
但是，當(dāng)我在B、C、D任何一個岔路口再增減一個路口（樹枝），如圖3，
在B處增加路徑BK，問學(xué)生：“這時螞蟻獲得食物的概率又是多少呢？”學(xué)生有了前面的知識和解題經(jīng)驗，很快就回答出來了：
因為增加了路徑BK所以所有可能經(jīng)過的路徑就有7條，而能獲得食物的路徑仍是2條，根據(jù)概率的計算方法，螞蟻獲得食物的概率是：
P（獲得食物）=27.
我說：“實際上正確的答案仍是13.”學(xué)生說：“我們可是按照你教的方法來解的啊！”我說：“不錯，你們把所有可能經(jīng)過的路徑都找出來了，但你們再仔細(xì)想一想，選擇這些路徑的可能性相同嗎？”以學(xué)生現(xiàn)有的知識，確實難以判斷，于是我和學(xué)生一起進(jìn)行了以下分析：
螞蟻在A處的時候，選擇AB、AC、AD的可能性都是13（它們的和為1），若螞蟻到達(dá)了B處，選擇BK、BE、BF的可能性都是13（它們的和為13），則選擇路徑ABK、ABE、ABF的可能性都是13×13=1９；若螞蟻到達(dá)了C處，選擇CG、CH的可能性都是12（它們的和為13），則選擇路徑ACG、ACH的可能性都是12×13=16；同理，不難計算出選擇路徑ADI、ADJ的可能性是16.因此增加了樹枝BK后，螞蟻可能所經(jīng)過的路徑不是等可能的了，就不能直接用公式P=mn來計算了.下面給出這道變式題的正解：
解法1：因為螞蟻在每個岔路口都會隨機(jī)地選擇一條路徑，所以螞蟻在A處選擇AB、AC、AD這3條路徑的可能性相等，
所以，P（選擇AC）=13.
因為螞蟻在C處選擇CG、CH這2條路徑也是等可能的（它們的和為13），
所以，P（選擇ACG）=12×13=16，
同理，P（選擇路徑ADI）=16.
所以，P（螞蟻獲得食物）=P（選擇路徑ACG）+P（選擇路徑ADI）=16+16=13.
或者根據(jù)事件的獨(dú)立性利用乘法公式來求解：
解法2：因為螞蟻在每個岔路口都會隨機(jī)地選擇一條路徑，所以螞蟻在A處選擇AB、AC、AD這3條路徑的可能性相等，
所以，P（選擇AC）=13.
因為螞蟻在C處選擇CG、CH這2條路徑也是等可能的，
所以，P（選擇CG）=12.
又因為在A處選擇路徑和在C處選擇路徑是互相獨(dú)立的，
所以，P（選擇路徑ACG）=P（選擇AC）P（選擇CG）=13×12=16.
同理，P（選擇路徑ADI）=P（選擇AD）P（選擇DI）=13×12=16，
所以，P（螞蟻獲得食物）=P（選擇路徑ACG）+P（選擇路徑ADI）=16+16=13.
解法3：P（螞蟻獲得食物）=13×0+13×12+13×12=13.
(責(zé)任編輯 黃桂堅）
