一個不定方程的全部正整數(shù)解
2012-01-01 00:00:00程宏王曉峰
中學(xué)教學(xué)參考·理科版 2012年5期
1969年，Bratze在《數(shù)學(xué)游覽》中提到將5121表示為三項(xiàng)單位分?jǐn)?shù)的問題，即5121=1m+1n+1h，m＜n＜h，m，n，h∈N+
①，
并給出不定方程①的一組解(25，759，208725).
給出問題①式的所有解中，最大分母的最小值是什么？在文［1］中，劉潤根、王春風(fēng)分別給出(33，99，1089)，(44，55，2420)，王曉明給出三組解(33，121，363)，(27，297，1089)，(33，91，33033).下面我們將通過分析①式中m，n，h的取值范圍，編寫?yīng)玀athematical程序并運(yùn)行，得到①式共有24組解，其中最大分母的最大值為275275，最小值為363.
一、理論分析
由①式5121=1m+1n+1h，m＜n＜h，n，m，h∈N+
，
得1m＞1n＞1h，所以1m＜5121＜3m，
從而［1215］+1≤m≤［3635］
，即25≤m≤72.
又
5121-1m=5m-121121m=1n+1h
，1n＜5m-121121m＜2n，
即［121m5m-121］≤n≤［242m5m-121］
.
又5121-1m-1n=1h
，即h=121m5mn-121n-121m.
為了避免計算機(jī)運(yùn)算誤差，我們將①式變?yōu)?mnh=121(nh+mh+mn). ②
尋找②式的解轉(zhuǎn)變?yōu)橄率鰡栴}：
當(dāng)25≤m≤72，［121m5m-121］≤n≤［242m5m-121］，
h=121mn5mn-121n-121m為整數(shù)時，如果②式成立，則對應(yīng)的(m，n，h)為①式的一組解.
二、Mathematical編程及運(yùn)算結(jié)果
根據(jù)上述分析，我們編寫求解①式Mathematical的程序：
For［m=25，m≤72，m++;
For［n=Floor［121*m/(5*m-121)］，n≤Floor［242*m/(5*m-121)］，n++;
h=121*m*n/(5*m*n-121*m-121*n)，
If［Floor［h］＜h5*m*n*h==121(n*h+m*h+m*n)，
Print［\"m=\"，m，\"\"，\"n=\"，n，\"\"，\"h=\"，h］］］］
運(yùn)行該程序，我們得到如下結(jié)果：
從表中可以看出最大分母的最大值為275275，最小值為363.
參考文獻(xiàn)
［1］吳振奎.數(shù)學(xué)中的美［M］.上海：上海教育出版社，2004.9.
［2］楊振華.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)［M］.北京：科學(xué)出版社，2002.
(責(zé)任編輯 金 鈴）
