托普利茲的微積分：歷史發生的方法

[摘要]微積分是大學的一門重要的必修課，然而很多學生卻學不懂這門課程，究其原因是因為教學方法不正確。歷史的方法是一種新的學習數學的辦法，為許多數學家所提倡，托普利茲就是其中的代表人物，他的著作《微積分——發生的方法》是提倡用歷史的方法講授微積分的代表作。歷史的方法是怎么來的？歷史的方法的本質是什么？歷史的方法是怎樣在微積分教學中應用的？歷史的方法對于學習數學有何意義？應該怎樣對待歷史的方法？本文著重以對《微積分——發生的方法》這本著作的研究為例，分析了上述問題。

[關鍵詞]

托普利茲；微積分；歷史的方法

[圖分類號]0172

[文獻標識碼]A

[文章編號]1005—4634（2012）04—0083—03

0 引言

20世紀六七十年代大學校園里出現的“新數運動”在學生學習的一開始就提出了嚴格性的數學概念，使學生的學習遇到了明顯困難，為了應對這種困難，當時的教育工作者發展了一些替代性的教學方法。但在實際的教學中，這些修正主義的措施并沒有獲得成功。為了應對“新數運動”中出現的問題，發生教學法應運而生。詳細闡述發生教學法的有波利亞、托普利茲、孔德、M.克萊因等。

波利亞根據發生原理將數學學習過程分為若干階段，托普利茲提倡應把歷史的發展作為教學指南，避免在教學過程中過分夸大概念的精確性，支持深入到數學概念的背景解釋和應用中去，使數學概念對學生真正有意義。國內外都對歷史的方法有一定程度的研究，例如研究學習歷史的方法的意義是什么，歷史的方法在數學教學中的應用，歷史的方法有何局限性等等，但以上的研究都較寬泛，讀者很難理解歷史的方法的真正含義和它對學習的幫助，《微積分一發生的方法》是美籍猶太數學家托普利茲的著作，是托普利茲把歷史的方法應用于微積分教學的代表之作，目前沒有中文譯本，也沒有關于這本書的研究成果，本書對于國內的大學教育改革有重大的教學和研究價值，值得借鑒。

1 Toeplitz與《微積分——發生的方法》

Toeplitz生于一個猶太家庭，他的父親和祖父都是數學教師，并且都發表過數學論文。托普利茲大學畢業后繼續研究代數幾何并在1905年被授予博士學位。1906年托普利茲來到了哥廷根，到1913年，托普利茲得到了Kiel大學的教師職位。1935年，由于希特勒上臺托普利茲被解雇了，1939年他移民巴勒斯坦并建設Jerusalem大學，但遺憾的是，他于第二年病逝。托普利茲在數學領域主要研究無限線性，20世紀30年代他發展了無限維空間的一般理論，并且批判巴拿赫的工作太抽象了。

《微積分——發生的方法》是托普利茲的一本非常出色的書，1949年由數學家GKothe編輯，并以德文出版。這本書倡導人們以歷史的方法來學習微積分，認為數學史對于數學的教學和學習有重大的啟發作用，他書中的觀點和教學法為數學界普遍認可，數學家M.Edwards在其著作《費馬大定理》中寫到：“相比于普通學習數學的方法而言你可能對歷史的方法更感興趣，就像數學家托普利茲所說的，歷史的方法的本質是——在解決某個數學問題時首先要追尋這個數學觀點的歷史溯源，以便激勵讀者更好地學習它，研究數學思想的歷史背景是為了找到所要回答的數學問題的核心所在。與此相反的教學方法，就是并不重視問題的來源，只呈現給作者最終的答案。從邏輯的角度來看，確實只需要得到最終答案，但是從心理學的角度來看只知道問題的答案而不了解問題本身，這是很困難的。最好的學習數學中抽象理論的方法就是遵從托普利茲的建議——暫時忽略已經給出的現代版定義，追溯問題的本源。”

2 《微積分——發生的方法》全書結構

《微積分一發生的方法》這本書分為4個部分，第一部分講述了無窮過程的本質，第二部分主要講述定積分，第三部分講的是微分及積分的計算，第四部分講到了微積分在運動問題上的應用。整體上來看本書的4大部分也正是人們研究微積分的4大階段，書中4個章節的內容大體如下。

1）無窮過程的本質。本書以古希臘對無窮小的分析開始，依次講到了古希臘的比例理論、窮竭法、現代數的概念、阿基米德對圓的測量、無窮幾何數列，在這些小節中作者用大量篇幅來介紹極限的歷史，目的是讓讀者知道微積分這個概念是怎么來的，也正是托普利茲所提倡的歷史方法的首要任務：讓讀者在得到答案之前首先明確他所要解決的數學問題到底是什么？來源于哪里？前面幾個小節作者詳盡的介紹了微積分問題的背景，本章后半部分作者繼續介紹無窮過程的實例和應用，也就是十進制小數和連續復利這兩節，通過上面直觀的對于極限的介紹，作者最終在第一部分的結尾的兩個小節作者以現代的數學語言正式介紹了收斂與極限的概念和無窮數列，這也正是歷史的方法的通常做法：首先忽略現代的數學概念，在讀者充分了解問題的歷史背景之后再給出明確定義。

2）定積分。作者第二章講述的內容是定積分，接下來第三章才講到微分，這與教材中的編輯順序有所差異，這里是作者的失誤？還是有意為之？本書是托普利茲發生教學法的代表作，顯然作者這樣安排是很有深意的，因為歷史上人們對于定積分的研究是早于微分的，因此作者就遵循歷史的順序來編排這兩章，先講定積分后講微分，這樣的編排順序也正是歷史方法的魅力所在，它所遵循的是千百年來人們邏輯思維的發展順序，因而更易被讀者接受。難能可貴的是作者不僅在整體上以歷史方法的順序編排，而且在每個章節中作者也同樣遵循歷史的方法，正如第二章所述，作者首先帶領人們認識所要解決的數學問題——定積分，它的歷史背景就是源于阿基米德對正交拋物線的研究，以及1880年以后人們對于阿基米德研究成果的進一步的研究，這構成了本章的前兩節，在問題本身介紹清楚之后，下面要做的就是解決問題，后續章節中作者依次講到了面積及定積分，非嚴格的定積分，定積分概念和有關定積分的定理，這些都是從前人的直觀研究的基礎之上抽象而來的現代數學語言。

3）微分及積分運算。第三章是微分問題，關于微分，作者首先提到了正切和反正切以及速度問題，這正是眾所周知的微分這個概念形成的歷史背景。在了解了微分問題的歷史背景之后要做的就是學會解決微分問題，乘積法則和分部積分正是解決微積分運算問題時的基本工具，在第三章的后半部分作者展示了各種典型的微積分問題及解決方法，幫助讀者加深理解。

4）微積分在運動中的應用。在本書的最后一章作者講到了微積分在運動中的應用，在這一部分中作者以物理學中人們對于運動規律的研究歷史為主線，逐次講到微積分在速度加速度、鐘擺、彈性擺動和Kepler三大定律上的運用，人們在對運動問題研究不斷加深的過程中，同時也是微積分理論不斷發展的過程，運動問題也是微積分形成的重要歷史背景之一，作者在這里安排本章內容旨在通過對微積分知識的運用加深讀者的理解，最后達到讓讀者對于微積分知識融會貫通的目的，本書在內容編排上環環相扣，邏輯關系緊湊而且逐步遞進，不論在整體構思還是在章節敘述上作者都遵從了歷史方法的研究步驟，可謂匠心獨運同時也給予讀者以深刻的啟發。

3 書中應用歷史方法的具體案例

選取書中的一小節：“定積分的由來——阿基米德的拋物線”為代表來對歷史的方法給予說明。

歷史上定積分這一概念是始于阿基米德對拋物線面積的測量。阿基米德怎樣求解拋物線面積的？阿基米德對于正交拋物線面積的求解又與所要學習的定積分有什么關系呢？見圖1。

如圖1所示，在一個給定的平行四邊形EE’F’F中，D是EE’的中點，A是F’F的中點，令B是EE’上的任意一點，BD平行于EF，現在在線段BD上取一點C使得BC：EF=BO²：EO²，當B從E運動到E’時滿足上述比例式的點所走過的軌跡是一條拋物線。現在疑問就在于圖中所示的拋物線面積可求嗎？阿基米德給出了證明，見圖2。

如圖2所示，先取OE的中點B，再取BE及OB的中點，作EF的平行線，依次交拋物線于點C、C₁、G₂，同理在OE’也做相應的變換，易證：

至此就明確了拋物線的面積可由其內接三角形FOF’求出。阿基米德的結果是很重要的，其意義在于表明了一些曲邊多邊形的面積是可以通過其它可測圖形的面積來表示，正是阿基米德對正交拋物線面積的求解給了人們求解曲邊多邊形面積的靈感，啟發人們在求解其它曲邊多邊形面積時遵循無限分割、化整為零、求和及其極限的方法，而這也正是阿基米德的工作精髓所在。有了這個例子讀者就可以很好的理解定積分的思想溯源，進一步學習現代精確的定積分概念就不會感到突兀難懂了，歷史方法的作用和教學價值也就展現在面前。

4 總結和建議

通過對《微積分一發生的方法》一書的整體結構研究和個別的案例剖析，可以感受到歷史的方法對于學習微積分乃至其它學科的巨大幫助。

1）歷史的方法是符合邏輯思維認識規律的教學方法。在學習微積分時之所以感覺吃力很大程度上是因為書本上講述的微積分是截斷歷史的片面微積分知識，由于缺失重要的思想來源敘述導致學生百學不得其解。托普利茲的這本書之所以能夠幫助讀者學懂微積分，主要原因在于他是以歷史的方法講述微積分。作者并沒有急于讓人們知道微積分如何求解，而是首先告訴讀者微積分是怎么來的，從而由微積分的歷史背景慢慢地講到微積分的定義，最后才去解決微積分的求解問題，這是符合人們長久以來養成的邏輯思維順序的教學方法，因而讀者易于接受，學習事半功倍也就不難理解了。

2）歷史的方法是以后數學學習方法的趨勢。發生教學法自提出以來受到很多著名數學家的稱贊和支持，他們普遍認為歷史的方法才是邏輯思維最原始也是最有效的思考方法，人們在學習高深數學概念的時候應該從最基礎的知識開始循序漸進的學習。歷史上人們研究一門學科時漫長的探索過程正是他們在學習時知識逐步加深的過程，因此今天在講授數學知識時沒有道理不利用同樣的方法，在國外，歷史的方法一經提出就引起了極大的反響，并在實際的教學應用中取得了很好的效果，《微積分——發生的方法》這本書正是幫助學生學習微積分的經典教材，可以預計將來會有越來越多的這類教材呈獻給讀者，有了更多此類教材以后在大學課堂中講授數學的方法也必然會逐漸走向科學合理化，即向歷史的方法靠攏。

3）應當加大研究和實施力度，以求讓歷史的方法在大學教學中充分利用。盡管歷史的方法為很多數學家和學者所認可，但這一方法在教學和學習中卻遠未達到所應有的規模。究其原因，一方面因為很多老師雖然知道歷史的方法有助于學生學習，但要搜尋書本上數學概念的來源非常繁瑣，因而很多老師并不愿意耗費心力實施這種方法，另一方面利用歷史的方法編排教材時要求編者有很高的水平，這是現在很多教材的編者所不能達到的。當然還有其他各方面的原因制約著發生教學法的實際應用，基于以上現狀，筆者建議應加大教育投入力度，深入研究歷史的方法在教學實施過程中遇到的困難，積極尋求改變現狀的方法，真正讓歷史的方法為大學教育充分利用，讓學習更加豐富有活力。