基于考試的數形結合思想研究

1 數形結合思想的考查綜述

1.1 內涵闡釋

“數缺形，少直觀；形缺數，難入微”，“數形結合百般好，隔裂分家萬事休”.這是華羅庚教授對數形結合思想的深刻、透徹的闡釋.

據此可知，數形結合思想，就是根據數與形之間的對應關系，通過二者的相互轉化來解決數學問題的思想，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面.

1.2 要求概述

國家教育部2011年12月頒布的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》已將數學基礎教育中“雙基”發展為“四基”，即基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗.這種變化、修訂足以體現我國數學基礎教育者對數學基本思想的認識上升到一定高度.數學思想是數學科學發生、發展的根本，也是數學課程教學的精髓.鑒于數學的系統性，筆者覺得，即將修訂的《普通高中數學課程標準（實驗）》應該也會把“雙基”發展為“四基”.因為使學生獲得數學的基本思想，是數學課程的一個重要目標.、

《普通高中課程標準（實驗）》（以下簡稱為《課標》）指出：高中數學教學中應強調對數形結合這一基本思想的理解和掌握，并且要貫穿高中數學教學的始終，幫助學生逐步加深理解.

《考試大綱》指出：對數學思想方法的考查是對數學知識在更高層次上的抽象與概括的考查，考查時必須要與數學知識相結合，通過對數學知識的考查，反映考生對數學思想方法的掌握程度.

1.3 可測性解讀

高中階段數形結合思想的可測性可從以下幾個方面實施：

①實數與數軸上點的對應關系；②有序數組與坐標平面（空間）上的點的對應關系；③函數與圖象的對應關系；④曲線與方程的對應關系；⑤以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如向量、復數、三角函數等；⑥所給的等式或代數式的結構含有明顯的幾何意義 ；⑦數列通項及求和公式的函數特征.等等.

當然，若按照數與形的相互轉化關系，可以將數形結合思想分為以下兩類：

（1）“以形助數”，如：借助數軸，借助函數圖象，借助單位圓，借助代數式的結構特征，借助于解析幾何方法等；

（2）“以數輔形”，如：借助于幾何軌跡所遵循的數量關系，借助于運算結果與幾何定理的結合等.

1.4 主要考查功能剖析

數形結合思想通過“以形助數，以數釋形”，考查考生能否將復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而把握數學問題的本質.運用數形結合思想，不但能直觀快速發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，優化解題過程，尤其在解選擇題、填空題中更顯其優越性.以這個思想構造的試題往往能很好檢測考生思維的靈活性，試題具有一定的區分度.

1.4.1 縱橫聯系知識，交匯滲透考查

考點知識的交匯性是新課程高考試題的特點之一，而函數與數列、三角函數、不等式、解析幾何、立體幾何都有千絲萬縷的聯系，歷年高考試題都重視將考點知識與數形結合思想交匯作為一個亮點.

例1 （2011年高考全國卷課標版·理12)函數

的圖象與函數的圖象所有交點的橫坐標之和等于

A.2 B.4 C. 6 D.8

評注 本題以函數為載體，考查數形結合思想.而細致認真作出函數

與2sinyx=π( 24)x?≤≤的圖象是解決本題的關鍵.處理方程問題時，把方程的根的問題看作兩個函數圖象的交點問題；處理不等式時，從題目的條件與結論出發，聯系相關函數，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路.

1.4.2 依托基礎知識，考查相關能力

高中數學各模塊主干知識是考查數形結合思想的重要載體，試題可以將數形結合思想蘊含于空間想像能力、抽象概括能力、推理論證能力、數據處理能力、運算求解能力、應用意識和創新意識之中.

例2 （2010年高考福建卷·理10）對于具有

( )f x( )g x，若存在函數

（，b為常數），對任給的正數m，存

yg x=

A.①④ B.②③ C.②④ D.③④

評注 本題以新定義“分漸近線”為載體，是大學數學逼近思想的“高觀中數”，要學生深刻理解“分漸近線”的本質特征：函數( )f x和( )g x有某一相同的漸近線，并且兩函數分別由上下方逐漸趨近此漸近線.目的是考查考生分析問題、解決問題的能力，有一定的創新性，滲透考查考生的推理論證能力和學習潛能.解決本題關鍵是要利用數形結合思想，動用平時對函數圖象與性質知識的積累，畫出圖象作出正確的判斷.借助于圖象研究函數的性質是一種常用的方法，函數圖象的幾何特征與數量特征緊密結合，體現了數形結合的特征與方法.本題能夠較好考查不同程度學生的數學素養.

2 數形結合思想的考查回顧

福建卷近三年對數形結合思想的考查情況

=??.

其中，曲線( )yf x=與存在“分漸近線”的是

《課標》對數形結合思想方法的要求是理解與掌握，要求以高中數學各模塊知識作為載體，考查學生對這一思想方法的掌握程度，從以上數據可以看出，福建卷對這數形結合思想的考查非常重視，考查力度也非常大，比較吻合《課標》理念.我想這一趨勢是不會改變的.

由此可以看出，數形結合思想在每年的高考中

都占有較大比重，它常用來研究方程根的情況，討論函數的值域(最值)以及求變量的取值范圍等.

2.1 集合中的數形結合思想的考查

借助數軸或Venn圖，進行集合的“交”、“并”、“補”運算，可使問題得以簡化，運算快捷明了.

2.2 函數與圖象的對應關系中的數形結合思想的考查

解題思路依賴于函數圖象，這是在解答題中考查數形結合思想的一種形式.要注意培養這種思想意識，做到心中有圖，見數想圖，以形助數，以開拓考生的思維視野.

例3 (2012年高三質檢福州卷·理21)已知函數

( )ln

，求函數( ) x?的單調區間；

（Ⅱ）設直線l為函數( )f x的圖象上一點

yg x=

評注 （Ⅱ）問是兩曲線的公切線問題，也是近幾年各地高考課標卷的熱點問題，平時復習都會涉及，入手不難.利用公切線列方程消參，轉化為方程

，利用（Ⅰ）的單調性結論，再判斷(e)0?<，.也可分離為兩函數與

從數學思想方法的角度看，本題綜合考查了學生函數與方程思想、化歸與轉化思想、數形結合思想以及分類與整合思想.其中恰切地作出圖象，將圖形性態用準確的代數式表示出來，其書寫過程就顯得簡潔明了.

2.3 曲線與方程的對應關系中數形結合思想的考查

關注以形助數，以數輔形，珠聯璧合.以形助數與以數輔形二者應當相輔相成，不能偏護一方.但數形結合思想的直觀、形象、明了漸漸地使學生認為它是“萬能”的，常常會使解題誤入歧途，有失偏頗.

例4 （2012年高三質檢福州卷·理20）在平面

本題會漏了點位于第二象限情況，思維不嚴密的考生將以偏概全.數形結合，貴在結合，離開結合或胡亂結合，只會適得其反；也就是有些題目具有一定的局限性，在大量的證明題中，“形”往往只提供了一種數學解題的平臺或模式，而“數”才是真正的主角，忽視這一點很容易造成對數形結合的謬用.

2.4 有序數組與坐標平面（空間）上的點的對應關系中數形結合的思想的考查（限于篇幅略）

2.5 三角函數，向量中的數形結合思想的考查（限于篇幅略）

3 數形結合思想的考查展望

試題要進一步凸顯知識的交匯性，學生的學習過程，考查學習潛能，體現思維的多樣性.

例5 把函數32

( )(0)?.若直線yn=與函數( )f x有3個交點，且三個交點的橫坐標從小到大依次為

.

命制期望 綜合考查函數圖象的變換、奇偶性、對稱性、函數的零點等基礎知識，凸顯知識“交匯”運用的特征，考查了閱讀理解能力、觀察分析能力，運算求解能力，重點考查了數形結合思想.預測試題難度為0.5左右，試題能體現填空題的考查功能.

評注 圖解之美，彰顯媚力.當然解本題不一定要畫出此函數的圖象，但要做到心中有圖，胸有成“圖”，才能真正做到“以形助數”.

例6 （2011年福建省普通高中畢業班質量檢查卷·理19）（Ⅱ）可重新表述為：“已知函數

g x的圖象上任意不同兩點連線的斜率都不小于？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.”某考生的解答思路為：由

?∞.

請根據你的理解，寫出所有正確判斷的序號

.

命制期望 本題以函數的切割線為背景，考查了學生對切割線的理解與探究能力，考查了數形結合思想，有限與無限思想.預測試題難度為0.3左右，區分度較好.數形結合滲透在中學數學的每個模塊，綜觀中學數學，可發現其研究的對象就是一些常見的數量關系與簡單的圖形.數與形是特殊的一種對立，可以在一定的條件下實現相互轉化.化數為形；化形為數，數形相互為用是數學探索和解決數學問題的重要途徑.因此中學數學老師要做好這種“數”與“形”關系的揭示與轉化，啟發學生深刻認識數學問題的實質——數學知識的精髓，才能將知識轉化為能力，才能提高學生靈活運用數形結合等思想解決問題的能力，才能做到：“對數學思想方法的考查是對數學知識在更高層次上的抽象與概括的考查”.

參考文獻

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