黃金橢圓與黃金雙曲線的對偶性質

通常，我們稱離心率為 5 1+

黃金橢圓與黃金雙曲線有很多奇妙的性質.本文約定所討論的橢圓方程均為

，，它們的焦距為

.為突出兩曲線間美妙的類比關系，我們要條件是

；（2）雙曲線為黃金雙曲線的充要條件是

2

=，橢圓為黃金橢圓.（2）類似可證，從略.

定理2 （1）橢圓為黃金橢圓的充要條件是

2）雙曲條件是

.

=，橢圓為黃金橢圓.似可證，從略. F BC是正方形，四邊形OA O

A作x軸的垂線交CB于點D，則四邊

是黃金矩形(圖1)；（2）

（2）類

定理3 （1）過黃金橢圓的右焦點

線交橢圓于點B，過點B作x軸的平行線交C，過右頂點則四邊形形四

1 F作x軸的垂線交雙曲線于點B，過點B作x軸的平行線交y軸于點C過右頂，點A作x軸的垂線交CB于點D，

bac

BFcOF aa

OF BC是

正方邊形OADC是黃金(圖2).證明 （）由定理2得

==OADC是黃金矩形.，故四邊形

====，

故易知四邊形OC為方形.為

bac

BFcOF aa

，

是黃

（1）設黃金橢圓的右頂點、上頂點與左焦點分別為∠=°；（2）設黃

金雙曲線的右頂點、焦點分別為虛軸上端點與左A，與

證明 （1）如圖3，黃金橢圓的右頂點、上頂點與左焦點分別為，與)，由定理2知，向量和

?

()

，，，所以

與（1）類似如圖4所示，過橢圓>的中心O作一直徑CD，弦PQ與CD平行，M，連接OM得橢圓的另一直徑AB，我們稱AB，CD為

共軛直徑，同時稱共軛弦.易證橢圓的任一條直徑必平分其共軛弦.

共AB，CD的斜都存在時率，設點M，P的坐標為

P xynm++，由中點坐標公式知Q的坐標為

兩式相減可

所以，若橢圓為黃金橢圓，則有

?，反之亦然.這個過程可以移植到黃金雙曲

定理5 (1)若黃金橢圓的一對共軛直徑存在斜

斜率之積等于離心率的相反數；（2）若黃

率，則其

金雙曲線的一對共軛直徑存在斜率，則其斜率之積等于離心率.

現在來證明

定理6 （1）過黃金橢圓上不與頂點重合的任一點

??；（2）過黃金雙重合的任一點的切線的斜率為

?.

證明 （1）在等式兩邊對，由定理1知過黃金橢圓上不與頂點的切線斜率為

2222x求導，得

0

?.

定理7 （1）點是黃金橢圓上不與頂點重合的

P

任一點，點P在x軸上的射影為點M，橢交）點P

金雙曲線上不與點重合的任一點，點P在x軸上的射影為點M，雙曲線在點P處的法線交x軸于點N，則

證明 （1）如圖5所示，設點的坐標為

.由定理6知橢圓在點的法線的斜率

，法線方程為

=.

（2）如圖6所

定理6知雙曲線的法在點P線的斜率

，法線方程為

參考文獻

[1] 方瑋.關于“黃金橢圓”性質的注記.數學通訊，2009（4）：18