基于立體幾何的高考試題交匯題型研究

“在知識網絡交匯點設計試題”，是近年來高考數學命題改革的重要理念和方向，高考復習的過程中，針對立體幾何，也要有意識的把握知識的縱橫聯系和綜合應用，突破各章節的界限，能夠融會貫通，應用自如，形成有序的網絡化知識體系，以開拓視野，形成能力，提高數學素養.近年來各省市的高考數學試題中，立體幾何與其他主干知識之間的交匯越來越多，題型分布的也不再局限于選擇、填空題.

1 立體幾何與函數的交匯例1 （2008年高考北京卷·理8）如圖，動點在正方體

P

yx的表達式，從而可知圖象應為兩條折線段.再如，1993年全國試題(理22)建造一個容積為，深為的長方體無蓋水池.如果池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元，那么水池的最低總造價為元.借助函數進行求解，體現了函數與立體幾何之間的相互滲透，豐富了數學學科的內涵.這道題目后來還作為習題入選了人教版課標課程教材高中數學必修1，凸顯了它的價值.例2 （2010年高考上海卷·文20）如圖所示，為了制作一個圓柱形燈籠，先要制作4個全等的矩形骨架，總計耗用9.6米鐵絲，再用平方米塑料片制成圓柱的側面和下底面（不安裝上底面）.

(1)當圓柱底面半徑取何值時，S取得最大值？并求出該最大值（結果精確到0.01平方米）；

(2)若要制作一個如圖放置的，底面半徑為0.3米的燈籠，請作出用于燈籠的三視圖（作圖時，不需考慮骨架等因素）.

評析 本題是2010年各省市高考數學試卷中關于立體幾何考查的一道亮點題目，主要考查空間幾何體、三視圖、二次函數的知識，空間想象能力和運算求解能力.在立體幾何與函數交匯的題目中，應用問題的考查是很重要的一個特點.注重依據現實的生活背景，提煉相關的數量關系，構造數學模型，將現實問題轉化為數學問題，并加以解決.

2 立體幾何與解析幾何的交匯

例3 （2008年高考浙江卷·理10）如圖，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點在平面

α所截出的橢圓.這是一道設計非常巧妙地題目，知識點的交匯顯得非常自然，對其數學本質的考查非常到位.

例4 （2004年高考北京卷·理4）如圖，在正方體

A.直線 B.圓 C.雙曲線 D.拋物線

評析 本題以空間幾何體的點線距為載體，考查圓錐曲線的概念.將到直線與直線的距離相等轉化為到點與直線的距離相等，可知動點的軌跡是拋物線. CBC

P

無獨有偶，在2010年高考重慶卷理科第10題：到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點，在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內的軌跡是

A.直線 B.橢圓 C.拋物線 D.雙曲線

評析 在解題過程中，如果能以正方體模型為載

xya=+，

問題就迎刃而解.

雖然在教材中，立體幾何與解析幾何是互相獨立的.實際上，從更廣義的角度看，平面幾何是二維的，立體幾何是三維的，因此，立體幾何可以看成是由平面幾何升維而產生；另一方面，從它們之間的聯系看，可以把解析幾何中的直線看做是空間二個平面的交線，圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）是平面截圓錐面所產生的截線；再從軌跡的觀點看，空間中的曲面（曲線）是空間中動點運動的軌跡正因為它們之間存在如此緊密的聯系，經常出現彼此交匯的題目.因此，可以認為，在平面幾何與立體幾何的交匯之處，新知識生長的土壤特別肥沃，創新型題型的生長空間也相當寬廣.

例5 （2008年高考重慶卷·文16）某人有3種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如圖所示的6個點 A種不同的安排方法，再安排上底面的三個頂點，共有種不同的安排方法.再由分步計數原理可知，共有

種不同的安排方法.這種類型的題目還有涂色問題等等，在以前的高考試題中，更是常見.近年來，又出現了新的特點，在考查排列、組合的基本方法之時，同時加上分類討論思想、概率問題的考查，綜合性越來越強.

4 立體幾何與概率的交匯

例6 （2009年高考安徽卷·理10）考察正方體6個面的中心，甲從這6個點中任意選兩個點連成直線，

乙也從這6個點中任意選兩個點連成直線，則所得的兩條直線相互平行但不重合的概率等于

評析 如圖，甲從這6個點中任意選兩個點連成直線，乙也從這6個點中任意選兩個點連成直線，共有種不同取法，如果把這些中點連結起來，會得到，CF，

AB，B B上運動且滿足

評析 本題以“幾何”為紐帶，突出中學數學中平面幾何、立體幾何、解析幾何、幾何概型及解三角形等知識之間的交叉和滲透，又結合不等式的應用.能夠較好的檢驗學生是否具備有序的網絡化的知識結構體系，在規避試題的“模式化”上做了有益的探索.作為2010年各省市立體幾何題目中的亮點，同上海市的題目一樣，把原來只在選擇或填空中才出現的交匯題型，第一次引入到了后面的解答題中.對高三復習備考工作，起到了很好的啟示作用.

立體幾何與其他知識交匯問題的解決，首先應該立足于立體幾何和其它相關知識點的基礎的掌握.既然是交匯，考查的重點在于不同知識點間的相互融會貫通，或者說某一知識點在新背景下，不同條件下的應用，而非單個知識深入考查.縱觀上面的題目，基本上都有這樣的特點.這事實上意味著，知識交匯處是創新型試題生長的沃土，同時也應該是高考立體幾何的復習中十分重要的著眼點.

參考文獻

[1]吳金炳，林金沂.基于選拔的立體幾何考查研究.福建中學數學，2011（2）：2-5

[2]楊茂斌.探析立體幾何與相關知識的“交匯性”.上海中學數學，2009（11）：12-15

[3]鄭廷楷.立體幾何與其它數學分支的六大交匯點.考試，2008（1）：13-15