高考探究性試題的分析及思考

江澤民同志曾說：“創新是一個民族的靈魂，它關系到一個民族的生死存亡” .而且“倡導探究性學習”又是高中數學課標課程實施的基本理念之一，其目的就是培養學生的創新能力和實踐能力.通過探究性學習， 能有效地提高學生的數學素養和創造性解決問題的能力.

《普通高中數學課程標準（實驗）》指出：“數學探究是指圍繞某個數學問題，自主探究、學習的過程，這過程包括觀察分析數學事實，提出有意義的數學問題，猜測、探究適當的數學結論或規律，給出解釋或證明.”隨著課程改革的不斷推進，以探究性學習為命題背景的探究性試題在數學高考中出現的越來越多.由于書面測試條件的限制，這類試題往往以科學探究活動的某一環節或幾個環節為命題思路，考查學生對探究性學習所需要的科學方法和思維能力的掌握程度，同時以科學探究活動為載體考查學生的數學“四基”(指數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗).下面針對2011年全國理科數學高考中出現的探究性試題進行分類解析，以供進行數學探究性教學與高考復習時參考.

1 高考探究性試題分析

1.1尋找規律，猜想探究型

這類題目是通過所給的關于數字、符號、式子、圖形等已知條件， 要求學生觀察、試驗和想象，發現認識蘊涵其中的數學規律，再將數學問題通過歸納總結，最終猜想并證明或計算其一般性結論，也就是由數學現象發現數學本質.

例1 （2011年高考湖南卷·理16）對于n?

解析 （1）因12，故

；

k?個，……有個0的有C1k?1

命題立意 本小題主要考查計數原理及組合知識，考查學生的歸納推理以及化歸與轉化能力.類似的考題還有，2011年高考陜西卷·理13、山東卷·理15.

1.2 理解新規，遷移探究型

該題型通常是指命題者給出以高數為背景的新概念或新規定，要求學生理解掌握概念，并運用它去解決實際問題，最關鍵就是在于能否真正理解概念的內涵.

例2 （2011年高考天津卷·理8）對實數和b，定義運算“

?<

命題立意 本小題主要考查分段函數及函數圖

象與x軸的交點及平移等基礎知識，考查理解和處理新信息的創新能力及數形結合思想的應用.類似的考題還有，2011年高考廣東卷·理8、山東卷·理12、四川卷·理16.

1.3 數形結合，直觀探究型

這類題主要考查學生能否將抽象的數學語言與直觀圖形結合起來，使抽象思維與直觀思維相結合，發揮數與形兩種信息的轉換及其優勢互補與整合.

例3 （2011年高考陜西卷·理6）函數

( )cos( )

命題立意 本題主要考查函數的零點與方程的根的關系，以及數形結合解決問題的能力.類似的考題還有，2011年高考全國卷·理12、安徽卷·理10、天津卷·理8、山東卷·理9.

1.4 實踐生活，建模探究型

這類題型主要考查學生的實踐能力.讓學生從所給的現實生活問題或情景出發，提煉出相關的數量關系，構造出合理的數學模型，運用所學的數學知識創造性解決問題.

例4 （2011年高考陜西卷·理14) 植樹節某班20名同學在一段直線公路一側植樹，每植一棵，相鄰兩棵樹相距10米.開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為_____米.

解析 此題的關鍵是要使每位同學往返所走的路程總和最小，則需將樹放置在第10或第11號樹坑旁.答案：2000.

命題立意 本題主要考查學生分析問題的能力以及數列的求和問題.類似的考題還有，2011年高考廣東卷·理13、上海卷·理9、陜西卷·理20.

1.5 討論分類，開放探究型

開放性試題改變傳統試題的結構或解題途徑，使試題條件不足或過剩，答案不唯一，從而使思維指向不單一，解題途徑多樣化.開放性試題由于增加了許多可變因素，試題結論不確定，能引導同學們靈活地運用所學知識，從不同角度探求解決問題的方法，有利于考查同學們的探究能力、創新能力和實踐能力. 但開放性試題的主要弊病在于其評分帶有比較明顯的主觀隨意性，于是2011年出現的都是存在性的半開放性試題.

例5 （2011年高考遼寧卷·理20) 如圖，已知橢圓的中心在原點，長軸左、右端點 AD的比值；

（Ⅱ）當e變化時，是否存在直線l，使得BO∥AN，并說明理由.

解析 （Ⅰ）略；

（Ⅱ）設直線:(| |l xt ta)=<，t時的不符合題意.

AN

命題立意 本題主要考查學生分類討論數學思想以及直線、橢圓的相關知識，還有存在性問題的求解思路問題.對考生分析問題、解決問題的能力提出了較高的要求，有較高的區分度，能較好地反映數學試卷的選拔功能.類似的考題還有，2011年高考福建卷·理20、湖南卷·理21、北京卷·理20、浙江卷·理20、陜西卷·理21、山東卷·理22、重慶卷·理20.

2 思考

（1）充分利用教材，依據教材內容設計相應的探究題，組織學生訓練

探究性問題與常規的課本習題不存在本質的區別，教師可將教材中的某些例題或習題引導到更深入的探究層次.為了使教學過程更富于啟發性，要求教師適時地把學生引導到探究的道路上去.

例如，兩角和正切公式的探究式變式教學，當學生學習了兩角和的正切公式：

() () (里所列的公式，其變量在使等式有意義的取值范圍內，以下同)，接著，引導學生探究公式是否有特殊情形，是否有拓廣情況得到

變式1 () () (

????.

引申變式4得到

變式5 ()kkαβγ++=π∈Z，

tantantantantantanαβγαβ++=γ.

引導學生從數學美的角度對公式進行變形探究得到

變式6 tantantan()(1 tan tan )αβαβαβ+=+?.

在這個例子中，由于所探究的問題與知識固著點之間的潛在距離把握適度(較大)，因此探究效果較好.它使學生從“變”的現象中發現“不變”的本質.從“不變”的本質中探索“變”的規律.即受到了數學美的熏陶，又培養了發散思維能力.同時還使學生體驗到新知識是如何從已知知識逐漸演變或發展而來，從而理解知識的來龍去脈，形成良好的認知結構.在例、習題的探究式變式教學中，要注意一題多解、一題多變、多題歸一等方面的探究，培養學生靈活解決問題的能力和創造性思維能力.

（2）利用高考已經出現的類似題型進行規范訓練，集體討論，充分交流與合作，爭取收到舉一返三的效果；同時精選各地模擬考試中的題目進行強化訓練

）利用高考已經出現的類似題型進行規范訓練，集體討論，充分交流與合作，爭取收到舉一返三的效果；同時精選各地模擬考試中的題目進行強化訓練

總之，數學高考中的探究性試題試著從量化的角度評價學生探究學習的方法和能力.在高考測試的有效導向下，高中數學教師在日常教學實踐中將會更加重視引導學生進行探究性學習，積極創造機會鼓勵學生踴躍參加探究實踐活動，讓學生真正經歷科學探究過程并掌握科學探究的方法、獲得數學知識、培養科學態度和科學精神，逐步提高創新意識、實踐與探究能力.