平面向量在解題中的應用例說

向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一.向量是既有大小又有方向的量，它可以用有向線段表示，也可以用坐標表示，這樣就賦予向量“數”與“形”的兩重性，使它成為溝通代數、幾何與三角函數的一種有力工具，同時，也是處理物理問題等的工具.下面是筆者從教學中歸納了平面向量在數學解題中的幾種應用.

1 平面向量在函數不等式中的應用

應用平面向量解決函數與不等式的問題，是以函數和不等式為背景的一種向量描述.它需要掌握向量的概念及基本運算，并能根據題設條件構造合適的向量，利用向量的“數”、“形”兩重性解決問題.

例1 已知向量，

，函數

在區間上是增函數，求t的取值范圍.

分析 先利用向量的坐標運算求出函數( )f x，再通過研究( )f x的單調性求的取值范圍. t

∴=?+t+.

若( )f x在上是增函數，則在( 1上有，即，在( 1

x的圖象是對稱軸為

( 1 1)?，( 1)3 25g?= += 5

+∞，

( 1 1)?，

故的取值范圍是[5.

t

)

yxxxx=+ +??+

的值域.

分析 將原函數轉化成兩個向量的模的差，再利用|| | | ||||?≤?

∵，a b為不共線向量，

||| | 1

y∈?，

例3 已知a，是不相等的兩個正數，求證：

.

分析 構造向量的坐標形式，再利用向量數量積的性質：|||| ||?≤?

a ba b（其中向量共線時等號成立）便可以證明.證明 構造向量=()ab，a，()a a b b=，b，則由，b為不相等的兩個正數可知向量，b不共線.此時有||

(+)()()aba b ab<++

2 平面向量在三角函數方面的應用

平面向量與三角函數的整合，仍然是以三角題

型為背景的一種向量描述.它需要根據向量的運算性質將向量問題轉化為三角函數的相關知識來解答.

例4 （2008年高考福建卷·文17）已知向量

(sincos )AA

m n，

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）求函數的值域.

分析 利用向量的數量積公式以及三角函數的一些運算公式可以求得A的值，而且利用二次函數配方法可以求出函數的值域.

解 （1）由題意得?=，

由A為銳角得

?，.

3 平面向量在解析幾何中的應用

向量可以用坐標表示使平面中的向量與它的坐標建立起了一一對應的關系，這使平面向量成為解決解析幾何問題的有力工具.平面向量與解析幾何的整合，是以解析幾何中的坐標為背景的一種向量描述.它主要強調向量的坐標運算將向量問題轉化為坐標問題，進而利用直線和圓錐曲線的位置關系的相關知識來解決.

例5 已知，點

(02)

，A在x軸上，點在軸的正半軸，點在直線

（1）當A點在x軸上移動時，求動點的軌跡的方程； EF作軌跡的切線，，當

C

分析 （1）用向量運算將A，B的坐標用點的坐標 jjjg

（2）利用切線的斜率是函數在該點處的導數值，從而寫出兩切線的斜率，再利用兩切線垂直及韋達定理求解.

解 （1）設，

()

，，()APx y=? yx=+ ).

由于平面向量具有“數”與“形”的兩重性，所以除了在數學解題中，有著廣泛的應用之外，在物理力學等實際問題中也廣泛應用著，這也體現了學科間的相互聯系.