做好概念教學 發展學生能力

我們知道，概念是思維的細胞，“數學根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！”.所以我們要重視基本概念的教學，做好概念教學，發展學生的能力，使每一個學生都能獲得良好的數學教育.

試題回放：（南京市2011年初中畢業生學業考試第27題）如圖1，P為△ABC內一點，連接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一個三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點．

(1)如圖2，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB邊的中線，過點B作BE⊥CD，垂足為E.試說明點E是△ABC的自相似點．

(2)在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．

①如圖3，利用尺規作出△ABC的自相似點P（寫出作法并保留作圖痕跡）；

②若△ABC的內心P是該三角形的自相似點，求該三角形三個內角的度數．

解析：(1)∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠BEC=∠ACB，

∵在Rt △ABC中，CD是AB上的中線，∴AD=DC，∴∠A=∠ACD．

又∵∠ACD+∠DCB=90°，∠EBC+∠DCB=90°

∴∠ACD＝∠EBC，∠A＝∠EBC．

∴△BEC∽△ACB．

∴E是△ABC的自相似點． 

（2）①作圖略．作法：仿照圖2.

（i）在∠ABC內，作∠CBE＝∠A；

（ii）在∠ACB內，作∠BCD＝∠ABC；BE交CD于點P．根據自相似點的定義可知點P為△ABC的自相似點．

②連接PC、PB．∵P為△ABC的自相似點，且∠A＜∠B＜∠C ∴△BCP∽△ABC．

∵P為△ABC的內心，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB．

∴∠A＝∠PBC=12∠ABC;∠BCP=∠ABC，

∠BPC＝∠ACB=2∠BCP=2∠ABC．∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°．

∴12∠ABC +2∠ABC +∠ABC＝180°．

∴∠ABC=360°7．

∴這個三角形的三個內角的度數分別為180°7、360°7、720°7．

賞析：這是一道源于課本三角形相似概念的新概念題，它的設問由易到難，層層深入，對學生信息遷移能力、理解能力、面對新知識的自我學習能力進行了很好地考查，與《課程標準》要求相符合，是一道以人為本的“叫好又叫座”的優秀試題.

本題首先給出了一個新概念——自相似點，要求學生認識和理解這個概念的特征屬性，然后通過三個問題反復體驗，類比體驗自相似點的基本內涵，應用自相似點的性質解決問題.考查學生對該概念的理解程度.

問題(1)要求學生根據新的概念進行判斷，考查學生對新知識的理解能力.問題(2)的第①問將概念的深入理解、外延拓展，運用于作圖，進一步考查學生對概念內涵的理解、掌握，問題(2)的第②問應用概念的性質解決問題.由此可見，題目呈現的信息豐富，突出了對遷移信息的考查，整個過程體現了理解掌握新概念的學習過程，以及在這過程中考查學生類比思想、操作、猜想論證和嚴密的數學思維能力.

思考：在教師的引導、啟發點撥下，學生數學學習都有初步的經歷和直接獲取經驗方法的過程，然后有一個獨立思考的體驗的過程，這一過程是消化汲取的過程，不同學生的差距較大，加強對這個過程的考查有助于提高考試的效度.這對于教學和試題編制都有借鑒作用.

學生理解和掌握概念的方式有兩種，一種是概念的同化，它是利用學生已經掌握的概念知識，以定義的方式揭示概念的本質特征（這道中考題采取的方式就是這種）；另一種是概念的形成，它是在大量具體的問題情境，利用化歸思想從中提取同類事物的本質特征，從而形成概念.由于學生（特別是低年級學生）認知能力水平較低，知識經驗具體，采用概念同化的方式理解和掌握概念的難度較大.因此初中學生學習概念的方式應更多地采用概念形成方式，即從典型、豐富的問題情境出發，經過學生自己的實踐活動，從中歸納、概括了這一類事物的共同的本質特征，從而理解和掌握概念.

(責任編輯 黃桂堅）