巧用圓的參數方程

圓的參數方程的應用比較廣泛，它是解析幾何中十分重要的內容，也是高中數學的一個難點.本文將以三個具體的例子闡述參數方程的巧用.

一、求二元方程最值

【例1】 已知點P（x，y）是圓x2+y2=2x上的動點.

（1）求x+2y的取值范圍；

（2）若x+y+a≥0恒成立，求實數a的取值范圍.

分析：因為點P（x，y）在圓x2+y2=2x上運動，根據所給的式子，把圓的方程化為參數方程，然后用參數表示兩個式子，再根據三角函數的有界性，解決相關問題.

解：把圓的方程化為標準方程(x-1)2+y2=1，故它的參數方程可設為x=cosθ+1，y=sinθ（θ是參數）.

（1）∵x+2y=cosθ+1+2sinθ=5sin(θ+φ)+1（其中tanφ=12），

∴1-5≤x+y≤1+5，

即x+2y的取值范圍是［1-5，1+5］.

（2）∵x+y+a≥0恒成立，即a≥-(x+y)恒成立，

即a要大于或等于-(x+y)的最大值，

∵x+y=cosθ+sinθ+1=2sin(θ+π4)+1，

∴x+y≥1-2，-(x+y)≤2-1，

∴a≥2-1，即a的取值范圍是［2-1，+∞）.

評注：本題也可以根據所給式子的幾何意義解題，利用線性規劃解決，但比此法要麻煩，參數方程把待求式化為關于參數θ的函數，求解十分方便，這正是參數方程的優勢.

二、求參數的值（范圍）

【例2】 拋物線y=x2+t與圓x2+y2=1有公共點，求實數t的取值范圍.

分析：把圓化為參數方程，代入拋物線的普通方程，用α的三角函數表示出t，進而求其取值范圍.

解：令x=cosα，y=sinα，代入y=x2+t，

得t=sinα-cos2α=sin2α+sinα-1=(sinα+12)2-54.

當sinα=-12時，t取得最小值－54；

當cosα=1時，t取得最大值1.

所以實數t的取值范圍是［－54，1］.

評注：本題應用圓的參數方程，采用代入法把求實數t的取值范圍問題轉化為求函數的值域問題，使問題迅速獲解，可謂轉化巧妙.

三、求與圓有關的最值

【例3】 已知圓C的參數方程為x=cosx，y=sinθ（θ為參數），則圓C上的點到點P（2，2）的最遠距離是 ；圓C上的點到直線x－y＋2=0的最近距離是 .

分析：根據參數方程得出圓上的任意一點的坐標，然后用相應的距離公式表示出兩個距離，再利用函數知識，求它們的最值.

解：設M（cosθ，sinθ）是圓C上的任意一點，則

|MP|=(cosθ-2)2+(sinθ-2)2=9-4(sinθ+cosθ)

=9-42sin(θ+π4)≤9-42=22-1.



即圓C上的點到點P（2，2）的最遠距離是22-1，點M到直線x－y＋2=0的距離

d=|cosθ-sinθ+2|2≥|2sin(π4-θ)+2|2≥2-1，

即圓C上的點到直線x－y＋2=0的最近距離是2-1.

評注：上述兩個最值都可以把圓的方程化為普通方程后，利用圓中最值的有關結論來求解.

在求解多元坐標的幾何或代數最值有困難時，我們不妨采用參數進行轉化，化為求三角函數的最值來處理，這樣能簡捷地解決有關動點與實點的距離等有關問題.

(責任編輯 金 鈴）