《黃河清“問題導學”教學法》方法課教學課例評析
2012-01-01 00:00:00陳華曲黃河清
中學教學參考·理科版 2012年4期
數學是一門以思維訓練為主的學科，數學思想方法就是數學中所蘊含的一般的思維規律，是數學的“靈魂”.對于數學教學來說，方法課的主要任務就是引導學生學習怎樣認識數學知識的本質，學會如何從具體的數學內容和學習過程中感悟數學的思想方法.
“黃河清‘問題導學’教學法”方法課教學模式，將教學過程分為四個環節：問題提出——方法剖析——總結歸納——應用探究.每個環節都有明確的教學核心要素，以此去思考和組織教學，有助于提高教學效益，促進學生能力的發展.
以下以黃河清老師“等式——解決不等式問題的一個重要工具”教學為例，就“四環節”的實施進行簡要的解讀.（注：教學過程有刪減）
［課例］
一、問題提出
以下是教材（人教版高中數學第二冊P97“橢圓的簡單幾何性質” ）中的內容.
1.范圍
討論x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)
方程中x、y的取值范圍，可以得到曲線在坐標系中的范圍.
由標準方程可知，橢圓上的點的坐標(x，y)都適合不等式
x2a2≤1，y2b2≤1，
即x2≤a2，y2≤b2，∴|x|≤a，|y|≤b.
這說明橢圓位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形里.（圖略）
問題1： 在橢圓方程中，變量的取值是受到限制的，這個限制條件除了上述的方法外，你還能用別的方法求出嗎？
問題2：方程有一個重要的特征——含有“平方項”.你能否據此去討論得到的取值范圍呢？
教師引導學生分析、證明：
由x2a2+y2b2=1得y2b2=1-x2a2≥0，得x2a2≤1|x|≤a，同理得|y|≤b.
問題3：“判別式法”是我們熟悉的一種解題方法，我們能否將橢圓方程化為關于某一變量為主元的一元二次方程，從而通過方程有實根化為Δ≥0來求解呢？
教師引導學生分析、證明：
由x2a2+y2b2=1得a2y2+b2x2-a2b2=0（a＞0），
有Δ=0-4·a2(b2x2-a2b2)≥0，
化簡得x2-a2≤0|x|≤a，同理得|y|≤b.
問題4：我們知道，函數、方程、不等式有著緊密的聯系，我們能否在橢圓方程中，將要研究的變量解出，化為目標函數，再通過對函數的性質進行研究求解呢？
教師引導學生分析、證明：
由x2a2+y2b2=1得x2=a2(1-y2b2)=-a2b2y2+a2≤a2|x|≤a，同理得|y|≤b.
二、方法剖析
問題5：你能歸納出以上幾種方法的特征嗎？
教師引導學生分析、討論：
問題2的解法特征——通過“非負項”可以構造不等式解題；
問題3的解法特征——利用“判別式”可以構造不等式解題；
問題4的解法特征——通過構造目標函數研究其性質化為不等式解題.
三、總結歸納
問題6：上述問題的解決中，體現了怎樣的數學思想方法？
教師評析、總結歸納：
由學生的發言中可以發現，在數學問題的解決中，有了“等式”，就有了“不等式”，這種將“不等式”問題轉化為研究“等式”問題的“轉化”意識，就是一種十分重要的數學思想.我們也可以從中體會數學思想方法的本質，即“等式”“轉化”（思想）為“不等式”可以通過以上三種“方法”去實現.同樣，研究“等式”問題也可以“轉化”為研究“不等式”的問題，由此發現，“等”與“不等”，它們既是研究問題的不同方面，又是相互依存、相互聯系的，在一定條件下可以相互轉化——這就是哲學思想.
四、應用探索
1.通過“非負項”構造不等式解題
（1）在條件極值問題中的應用
【例1】 x，y∈R，且2x2+y2=6x，則x2+y2+2x的最大值為 .
解：由2x2+y2=6x，得y2=6x-2x2，由y2=6x-2x2≥0得0≤x≤3，
x2+y2+2x=x2+6x-2x2+2x=-x2+8x=-(x-4)2+16.
當0≤x≤3時，u=-(x-4)2+16單調遞增，故當x=3時，u取最大值15，
故原式的最大值為15.
評析: 如果不注意從條件等式中去構造“非負項”求出變量x的限制條件，就會得錯誤的答案16，這是很多學生常犯的錯誤.
（2）在不等式證明問題中的應用
【例2】 已知x1、x2是函數f(x)=a3x3+b2x2-a2x(a＞0)
的兩個極值點，且|x1|+|x2|=2，求證：0＜a≤1.
解：f′(x)＝ax2+bx-a2，x1、x2是函數f(x)的兩個極值點，則
f′(x1) =f′(x2)=0，
∴Δ=b2+4a3＞0且x1+x2=-ba，x1x2=-a.
將|x1|+|x2|=2平方，得(x1+x2)2-4x1x2=4，
即b2a2+4a=4，①
有b2a2=4(1-a)≥0，∴a≤1，由題設a＞0，∴0＜a≤1.
評析：學生在解題時常感到無從下手，原因是無法建立起要證不等式與題目條件間的聯系.而從等式出發，通過“非負項”去尋找限制條件，問題就會迎刃而解.
（3）在解析幾何確定參數范圍問題中的應用
【例3】 如右圖，已知點A（a，0）和直線
L：x=－a（a>0），P為L上一動點，過P作L
的垂線交線段AP的垂直平分線于Q．已知
Q點的軌跡方程為y2=4ax.若點B到L的距離
為4+ a，AB⊥L，且A、B在L同側，過B作直線與y2=4ax
交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經過點A，求a的取值范圍．
解：設直線MN的方程為x=my+4，代入y2=4ax，消去x，
得y2-4amy-16a=0，
Δ=16a2m2+64a＞0恒成立.
設M(x1，y1)，N(x2，y2)，有y1+y1=4am，y1y2=-16a，
x1+x2=m(y1+y2)+8=4am2+8，
x1x2=m2y1y2+4m(y1+y2)+16=16，
則AM⊥AN，即(x1+a)(x2-a)+y1y2=0，
x1x2-a(x1+x2)+a2+y1y2=0，
16-4a2m2-8a+a2-16a=0
，
得m2=a2-24a+164a2≥0.
∴a∈(0，12-82］∪［12+82，+∞).
評析：解析幾何問題中，由于條件比較復雜，解題時要先設法根據題意建立等式，再利用 “非負項”轉化為不等式求解.
2.利用“判別式”構造不等式解題
構造以某一變量為主元的一元二次方程，由方程有實根化為Δ≥0來求解，這是化“等式”為“不等式”的又一重要“轉化”方法.
【例4】 求使函數y=x2+ax-2x2-x+1的值域為(-∞，2)的a的取值范圍.
解：令x2+ax-2x2-x+1＜2，∴x2-x+1＞0，∴x2+ax-2＜2(x2-x+1) ，
即x2-(a+2)x+4＞0，此不等式恒成立當且僅當Δ=(a+2)2-4×4＜0，
∴-6＜a＜2.
評析:將問題直接轉化為一元二次方程，利用Δ求解，具有一般性.
【例5】 在已知拋物線y=x2上存在兩個不同的點M、N關于直線y=-kx+92
對稱，求k的取值范圍.
解：由題意知，k≠0，設M(x1，y1)，N(x2，y2)是關于直線對稱的兩點，則MN的方程可設為y=1kx+b，代入y=x得x2-1kx-b=0，且Δ=1k2+4b＞0.①
又x1+x2=1k，中點x0=12k，y0=12k2+b，
∵(x0，y0)在直線l:y=-kx+92 上，
∴12k2+b=-k×12k+92，∴b=4-12k2，②
將②代入①得1k2+16-2k2＞0，
∴1k2＜16，即k2＞116，∴k＞14或k＜-14.
評析：先建立等式，轉化為一元二次方程后再用判別式求解，是解此類問題的基本方法.
【例6】 已知△ABC的三個內角A、B、C成等差數列，它們所對的邊a、b、c滿足a+c=kb，求實數k的取值范圍．
解：∵A、B、C成等差數列，∴A+C=2B，∴B=60°.
又由余弦定理得b2=a2+c2－2accosB，即b2=a2+c2－2accos60°.
又由a+c=kb得a=kb－c，代入上式得b2=k2b2-2kbc+c2+c2-(kb-c)c.
即(k2-1)b2-3kbc+3c2=0，(k2-1)(bc) 2-3kbc+3=0.
由Δ≥0得9k2-4×3(k2-1)≥0 ， ∴ k2≤4，解得-2≤k≤2.
又a+c＜b，∴kb＞b(b＞0)，∴k＞1，于是可得1＜k≤2.
評析：在等式中根據條件確定好主元，就能構造判別式求解.
在例2中，得出等式b2a2+4a=4①后，也可用判別式求解：先化為關于b的一元二次方程b2+4a3-4a2=0，由Δ≥0得0-(4a3-4a2)≥0，解得0＜a≤1.
3.構造目標函數利用不等式性質解題
在等式中，將要研究的變量解出，表示為其他變量的函數，利用不等式的性質對所構造的目標函數進行研究，從而求解.
【例7】 對于函數f(x)，若存在x0=f(x0)，則稱x0為f(x)的不動點.已知函數f(x)=
ax2+(b+1)x+b-1(a≠0)，對于任意實數b，函數f(x)恒有兩個相異的不動點，若函數f(x)的圖象上A、B兩點的橫坐標是函數f(x)的不動點，且A、B兩點關于直線l：y=kx+12a2+1對稱，求b的最小值．
解：由于對于任意實數b，函數f(x)恒有兩個相異的不動點，故方程ax2+(b+1)x+b－1=x有兩個相異的實根，即 ax2+bx+b－1=0有兩個相異的實根.
∴Δx=b2－4a(b－1)>0，設A、B橫坐標為x1， x2，則AB中點的橫坐標
x0=x1+x22=-b2a，AB中點的縱坐標
y0，又A、B兩點是y=x與y=f(x)圖象的交點，又A、B關于直線l對稱．∴k=－1．∴y0=-1×(-b2a)+12a2+1=b2a+12a2+1.
又AB中點在y=x上，即y0=x0，即-b2a=b2a+12a2+1
，有
b=-a2a2+1=-12a+1a≥-122=-24.
當2a=1a(a＞0)，即a=22時，bmin=-24.
教師總結：以上例子可以看出，有了“等式”，就有了“不等式”.這幾種轉化的方法簡潔明快，通俗易懂，便于掌握，大家應該很好地學習和運用.
本節課的教學，體現了黃河清老師“問題導學”的教學風格，問題的設置“聯想豐富，轉化合理”，很好地引導了學生的思考與學習，讓學生逐步學會透過解決問題過程的表象去理解其中蘊含的數學思想方法，教學的構想和創造讓人大開眼界.
一、問題提出“平中見奇，立意深遠”
首先， 由“討論方程x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)
中x、y的取值范圍”出發，敏銳地抓住“非負項”、“判別式”、“函數定義域”也可以推出x、y的取值范圍這樣的解法，引發學生的思考，這正是黃老師教學功底和教學創造力的體現.因為數學思想方法在教材中的呈現是分散式、螺旋式的，學生對數學思想方法的認知較為分散，不易形成完整的知識體系，常常“知其然，而不知其所以然”，需要教師有意識、有目的地從數學內容中去發現、發掘數學的思想方法.如果教師沒有這樣的意識和能力，不能發現其中隱含的數學思想方法，就談不上引導學生站在全局的高度上去認識、理解和運用數學思想方法去解決問題.
其次，問題的提出關鍵就在于教師如何精心設置“問題鏈”，使每一個問題都能引導學生積極地思維，激發學生主動去思考和探索，使學生對數學思想方法的認識從樸素的感知變成有意識的發現、理解，提高思維的能力.在該環節上黃老師提出的四個問題中，各有不同的思考點：“問題1” 重在引發學生的思考，“問題2”、“問題3”、“問題4”通過適當的鋪墊，讓學生既有一定的思考方向，又有足夠自主探索的空間，使問題起到了“引導而不強迫，激勵而不壓抑，誘導點撥而不灌輸”的作用，這是非常重要的.引導而不強迫，師生關系才能融洽親切；激勵而不壓抑，學生才會感到輕松愉快；誘導而不灌輸，學生才能開動腦筋、獨立思考.施教若能使學生感到“親切”、“愉快”，就可以說是善于啟發誘導了.
二、方法剖析“特征明確，重點突出”
要讓學生充分感受數學思想方法的內涵，方法剖析就成為教學的一個重要的環節.通過方法剖析這樣一個教學載體，讓學生認識方法的合理與必然性，逐步提高學生理解數學思想方法的意識和能力.
在這一環節上，黃老師著重引導學生剖析各種方法的基本特征：問題2的解法特征——通過“非負項”可以構造不等式解題；問題3的解法特征——利用“判別式”可以構造不等式解題 ；問題4的解法特征——通過構造目標函數研究其性質化為不等式解題.這樣的剖析目的有三：
一是能讓學生“知其然，也知其所以然”.任何一種解題方法都有其豐富的內涵：為什么這樣解是合理的？思維的邏輯起點是什么？方法最關鍵的要素是什么？需要教師的引導、分析.如“非負項”為什么可以構造不等式解題？學生從已有的知識經驗出發，分析出方法的本質特征，就知道了方法產生的來龍去脈.
二是促進學生學會類比聯想.“類比聯想”是方法課的重要抓手，知識學習的重要特點就是它的關聯性，新知識總是在舊知識無法更好解決問題時適時派生的，它不斷促進著數學的發展.如 “判別式”是學生熟悉的一種方法，但“利用‘判別式’構造不等式解題”卻是學生無法想到怎樣溝通聯系的.因此，引導學生將它們聯系起來，讓學生感受到這個方法在解決新的矛盾認知中的作用，這對提高學生類比聯想的能力是十分重要的.
三是讓學生感受到創新的魅力.“等”與“不等”，這是同一問題的兩個方面，通過方法的剖析，讓學生感受到解決數學問題中這種“對立”與“統一”的關系，學會從不同的角度去思考問題，探索不同的解決問題的方案，并學會比較，這對開拓學生的解題思路，培養學生的發散性思維和創新能力都有重要的作用.
三、總結歸納“畫龍點睛，內涵豐富”
數學的內容，包括數學知識和蘊涵于知識中的數學思想方法兩個組成部分.知識是數學的外在表現形式，而數學的思想方法則是數學發展的內在動力，促進著數學事實的發現和繁衍，決定了數學發展的脈絡.但“方法”與“思想”之間沒有嚴格的界限，人們習慣上把那些具體的、操作性較強的辦法稱為方法，而把那些抽象的、涉及范圍較廣的或框架性的辦法稱為思想.因此，教師的教學要注重引導和幫助學生去總結歸納.
黃老師在這一環節中，注重強調了“將‘不等式’問題轉化為研究‘等式’問題的‘轉化’意識，就是一種十分重要的數學思想”，將數學思想顯現化，讓學生的認識上升到數學思想的層面，這是十分重要的.同時，把“方法”與“思想”的內涵表述得十分到位，即“等式”“轉化”（思想）為“不等式”可以通過以上三種“方法”去實現，讓學生對“方法”與“思想”的聯系與區別有直觀的了解.同時，對問題進行了拓展：研究“等式”問題也可以“轉化”為研究“不等式”的問題，由此發現，“等”與“不等”，它們既是研究問題的不同方面，又是相互依存、相互聯系的，在一定條件下可以相互轉化——這就是哲學思想.這種對數學思想方法基本內容和形式嚴謹、深刻的介紹，會給學生留下深刻的印象，使學生在今后的學習中有據可遵、有法可循，學會觀察、感受和思考這些數學思想的特點與作用，更好地學會運用它來解決相關問題.
四、應用探究“目標明確，路徑開放”
學習的目的在于運用，方法課也不例外.在應用探索環節，教師要注重針對本節課重點討論的數學思想方法，設置不同層面的問題讓學生進行訓練，使學生更好地體會和理解這種數學思想方法的內涵和外延，并內化為自己的認識.
本環節黃老師的問題設置有幾個特點：
一是再現性問題.學生對方法的學習，總有一個模仿的過程，力圖實現解題的類化.因此，所有例子的設置黃老師都緊緊抓住“三種方法”，讓學生熟練掌握這三種方法的解題特征和方法步驟，這對提高學生對這一數學思想方法的理解力是十分重要的.而且“一法多用”的訓練容易讓學生形成解題技巧，達到“多題歸一”“萬變不離其宗”的目的，有利于培養學生的遷移能力.
二是開放性問題.開放性問題對促進學生理解數學思想方法的豐富性、多變性，激發思維的能動性都有著特殊的作用.因此黃老師設置的例題雖然目標很明確，但是知識的背景卻不同，解決問題的路徑也多種多樣，為學生從數學思想方法的高度充分去展開探求活動提供更寬廣的平臺.
三是反思性問題.反思，是主觀的“我”對客觀的“我”的認識，即主體自覺地對自身認識活動進行回顧、思考、總結、評價、調節的過程，是辯證思維的一種體現.因此，在例題的設置中，黃老師十分注重問題的層次性，注重引導學生學習反思，培養學生自我調控的意識和能力，增強學生的主體意識，提高學生學習的自覺性和對自己負責的責任感.
“黃河清問題導學教學法”方法課的“四環節”教學，圍繞“問題導學”的基本理念和策略，強調了對數學思想方法內涵、外延的學習、理解，注重引導學生感悟蘊含在知識中的數學思想方法，這對學生的可持續發展將起重要的作用.特別地，怎樣在平凡的教學內容中去捕捉數學思想方法的“靈魂”，引導學生學習，是一種教學的藝術和境界，很值得我們學習與借鑒.
(責任編輯 金 鈴）
