Clifford代數Clp,q(p+q=3)的矩陣表示

張桂穎,李武明

(通化師范學院 數學學院,吉林 通化 134002)

Clifford代數[1-3]Clp,q(p+q=3)的生成空間是p,q(p+q=3),其基元為

1,e1,e2,e3,e12,e13,e23,e123

a=a0+a1e1+a2e2+a12e12+a3e3+

a13e13+a23e23+a123e123,

其中系數均為實數.

1 Clp,q(p+q=3)的矩陣表示

定理1Clp,q(p+q=3)可以同構嵌入到Mat(2,) ,映射為

證明 ?a∈Clp,q(p+q=3) 均有

a=a0+a1e1+a2e2+a12e12+a3e3+
a13e13+a23e23+a123e123=
(a0+a1e1+a2e2+a12e12)+
(b0+b1e1+b2e2+b12e12)e123=
α+βe123,

其中b0=a123,b1=a23或-a23,b2=a13或

-a13,b12=-a3,α,β∈.

有了這樣的一個同構嵌入以后進而我們會發現:

以上我們證明了Clp,q(p+q=3)從生成結構上看都可以表示成2階矩陣,進而找到其高階實矩陣表示.下面我們換一種角度,分別找到Cl3,1,Cl2,1,Cl0,3的矩陣表示,然后再給出一個統一表達式.

2 Clp,q(p+q=3)的2階矩陣表示

命題1Cl3,0的2階橢圓復矩陣表示為

L(a)=

其中i是橢圓虛單位.

驗算有

其中A123=A1A2A3,Atl=AtAl,由此說明

Cl3,0?.

命題2Cl2,1的2階雙曲復矩陣表示

其中j是雙曲虛單位.

驗算有

其中B123=B1B2B3,Btl=BtBl,由此說明

Cl2,1?.

命題3Cl0,3的2階四元數矩陣表示為

其中i,j,k是四元數虛單位.

驗算有

其中C123=C1C2C3,Ctl=CtCl,由此說明

Cl0,3?.

實際上Cl0,3的這種2階四元數矩陣表示形式與1中所談到的形式是一致的,而且Cl0,3的2階四元數矩陣表示方法有多種形式,比如當取

我們可以計算出

驗算有Cl0,3?,進而給出另一種矩陣表示

綜上我們可以有

定理2Clp,q(p+q=3)可以表示成2階矩陣,其中Cl3,0,Cl2,1,Cl0,3分別可以表示成2階的橢圓復矩陣、雙曲復矩陣、四元數矩陣.

參考文獻：

[1]Lounesto P.Clifford algebra and spinord[M].New York:Cambridge University Press,2001.

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[3]李武明,張慶成.四維雙曲復空間與Lorentz群[J].東北師大學報:自然科學版,2005,37(2).

[4]張桂穎,紀云龍,李武明.Clifford代數Clp,q的冪等元[J].長春工業大學學報:自然科學版,2012,33(4).

[5]李武明.Pauli矩陣的若干性質及應用[J].通化師范學院學報,2003,24(6).

[6]張桂穎,李武明.Clifford代數Cl2,1的若干性質[J].通化師范學院學報,2012,33(2).