電導率分塊線性變化的二維高頻大地電磁法有限元正演模擬

戴前偉，張富強，楊坤平，李蕓蕓

（中南大學 地球科學與信息物理學院，湖南 長沙 410083）

電導率分塊線性變化的二維高頻大地電磁法有限元正演模擬

戴前偉，張富強，楊坤平，李蕓蕓

（中南大學 地球科學與信息物理學院，湖南 長沙 410083）

為了適應電性參數(shù)在水平方向和垂直方向是連續(xù)變化的實際需要，這里采用矩形剖分，線性插值的有限元法研究了電導率分塊線性變化的高頻大地電磁高精度，快速正演模擬。首先給出了二維高頻大地電磁測深的變分問題以及電導率分塊線性變化時的有限元數(shù)值解法，編制了相應的有限元程序。利用該程序對層狀模型進行了計算，并與解析解的結果做了對比分析，證明了程序的正確性和有效性，然后對典型電導率隨深度線性變化的模型和典型地塹模型進行了正演模擬，結果表明能夠有效地解決電導率在水平和垂直方向分塊線性變化的高頻大地電磁正演問題。

高頻大地電磁法；電導率分塊線性變化；正演模擬

0 前言

隨著中深度地球物理勘探的迫切需要，以美國EH－4電導率成像系統(tǒng)為代表的高頻大地電磁法，在我國地球物理勘探行業(yè)應用越來越廣泛［1、2］，其勘探深度在地下1 000m 以內，采集的信號頻率范圍在10Hz～64KHz之間，開展高頻大地電磁場的數(shù)值模擬有著重要的理論意義與實際意義［3］。國內、外眾多學者，都對大地電磁法的正演模擬進行了研究：Wannamaker［4］等采用矩形對角線二次劃分的剖分方式研究了二維帶地形問題的大地電磁的有限元正演模擬；陳樂壽［5］等采用有限元法對二維大地電磁正演計算并提出了一些改進的方法；徐世浙［6、7］等采用矩形剖分的方式對電導率分塊線性變化的大地電磁法進行了正演計算；陳小斌［8］研究了大地電磁正演計算中地形的影響；劉云［9］等采用自適應地形四邊形網(wǎng)格剖分進行了大地電磁場的模擬；湯井田［10］等采用矩形剖分的有限單元法對高頻大地電磁進行了有限元正演計算；阮百堯等［11、12］采用矩形剖分方式的有限單元法，對電導率分塊線性變化地電斷面電阻率測深進行了有限元數(shù)值模擬；歐東新［13］等對二維電導率線性變化測井進行了正演計算，取得了良好的效果。

大地電磁側重研究區(qū)域地質構造劃分，而高頻大地電磁（EH－4）側重于研究局部區(qū)域的電性變化，相比于大地電磁正演模擬的區(qū)域大小，高頻大地電磁的計算區(qū)域相比要小，網(wǎng)格的大小要比較小的反應局部地質體電性的有微小變化。此外，高頻大地電磁正演模擬所采用的頻點是固定的，而大地電磁采用的頻率是天然電磁場的隨機頻點，受野外電磁場干擾比較大。

前人在研究大地電磁或高頻大地電磁有限元模擬時，大都假設電導率分塊均勻，但實際工作中的巖礦石，由于組成、溫度、濕度及孔隙度等的變化，其電性參數(shù)在水平方向和垂直方向是連續(xù)變化的。因此，研究采用矩形剖分，線性插值的有限元法進行高頻大地電磁的數(shù)值模擬，有著重要的理論和實際意義。

1 變分問題

假定地電結構是二維的，選取右旋直角坐標系的原點在地面上，y軸正方向垂直向上，z軸方向平行于走向方向（見圖1），即介質的電性參數(shù)僅是x、y兩個坐標的函數(shù)。當平面電磁波以任意角度向地面入射時，地下介質中的電磁波總以平面波形式，幾乎垂直地向下傳播。這就使電磁場的各分量沿z方向都沒有變化，即z方向的偏導數(shù)為零。根據(jù)Maxwell方程，并考慮到?／?z＝0，得到兩個獨立的方程組，并以z分量為準，分別稱為TE模式和TM模式。

圖1 大地電磁二維正演研究區(qū)域Fig.1 Studied area of 2Dforward modeling in magnetotelluric

（1）TE模式：

式（3）和式（4）可以統(tǒng)一表示為：

對于TE模式：

對于TM模式：

相應的邊值問題歸結為：

方程組（6）與下列變分問題等價［14］：

2 高頻大地電磁法有限元求解

用有限單元法解變分問題（7）的步驟如下：

（1）網(wǎng)格剖分。首先將求解的二維區(qū)域剖分成矩形單元，如圖2所示（在圖2中，1、2、…代表節(jié)點；①、②、…代表單元）。

圖2 網(wǎng)格剖分及節(jié)點編號示意圖Fig.2 Sketch map of mesh division and node number

（2）線性插值。圖3（a）是母單元示意圖，圖3（b）是子單元示意圖，兩個單元間的坐標變換關系為：

其中 x0、y0是子單元中點的坐標；a、b是子單元的兩個邊長，微分關系為：

圖3 母單元、子單元示意圖Fig.3 Sketch map of parent element and sub－element

雙線性插值的形函數(shù)為：

在單元e上對電磁場u和參數(shù)τ、λ、k進行雙線性插值。用ui、τi、λi（i＝1、2、3、4）表示各節(jié)點的u、τ、λ，單元中的u、τ、λ可表示為式（11）。

（3）單元分析。根據(jù)有限單元法的原理，對于區(qū)域的積分，可以劃分為各個矩形單元的積分之和。

式（7）第一項：

其中 K1e＝（k1ij）；k1ij＝k1ji；ue＝ （ui）T；i、j＝1、2、3、4

式（7）第二項：

其中 K2e＝（k2ij）；k2ij＝k2ji；ue＝1、2、3、4

式（7）第三項：

式（2）右側最后一項線積分只對CD邊界進行，但單元的23邊落在CD邊界上時，線積分為式（14）。

其中 K3e＝（k3ij）；k3ij＝k3ji；ue＝ （ui）T；i、j＝1、2、3、4

（4）總體合成。將以上各單元積分相加，地單元 （i，j）的Fe（u），將各單元的Fe（u）相加，便得到總體系數(shù)矩陣的F（u）為式（15）。

（5）視電阻率和阻抗相位的計算。令式（15）為零，得線性方程組，加入上邊界條件u｜AB＝1，解線性代數(shù)方程組即可得各節(jié)點的u值，它代表各節(jié)點的（對TE模式）或（對TM模式）。在求得地表各節(jié)點的u后，再利用數(shù)值方法求出場值沿地表的偏導數(shù)?u／?y，代入式（16）、式（17），便可計算視電阻率和相位。

TE模式：

3 模型的計算

3.1 模型1－水平層狀模型

水平均勻層狀模型分四層：第一層電阻率為100Ω·m，厚 度 為 50m；第 二 層 電 阻 率 為1 000Ω·m，厚度為100m；第三層電阻率為500Ω·m，厚度為400m；基底電阻率為10Ω·m。正演所采用的頻率為10Hz～10 000Hz。

用基于Fortran語言程序編寫的電導率分塊線性變化的高頻大地電磁進行模擬計算，得出視電阻率和相位值并繪制出圖4。如圖4所示，在所研究的頻點上，程序計算的結果與解析解都很接近，誤差在3%以內。這說明程序在TE、TM二種模式下，計算均勻層狀模型方面的正確性和有效性。在TM模式下，視電阻率值稍大于解析解，相位值稍小于解析解；在TE模式下，電阻率稍小于解析解，相位值稍大于解析解。縱觀兩種模式下的誤差，高頻段相對明顯，高頻段的誤差比低頻段的誤差要稍大些，如果網(wǎng)格間距能夠更小，更易于接近解析解。

圖4 模型1曲線圖Fig.4 Curves of model 1

3.2 模型2－電導率線性變化的層狀模型

圖5 為三層地電模型示意圖，第一層的電阻率ρ1＝100Ω·m，厚度為h1＝30m；第二層的厚度h2＝150m；第三層的電阻率ρ3＝20Ω·m。其中第二層電阻率變化過渡層，其電阻率是深度線性關系為：

圖6是用所編制的程序計算的TE及TM模式的視電阻率和相位擬斷面圖。從圖6上可以看出：電阻率值隨著頻率的減小，從約100Ω·m逐漸線性減小到20Ω·m，與計算模型的電阻率變化相一致。此外，無論是TE模式還是TM模式，都能清楚地反映出中間層電阻率線性減小的變化和地塹構造形成的異常。尤其在TE模式的視電阻率和相位的擬斷面圖上，更能反映中間層電阻率線性變化的趨勢。在TM模式下的視電阻率斷面圖上，中間層能明顯地反應出來。但是在深度方向上，形態(tài)被明顯向下拉伸，比較而言，TM模式的相位斷面圖對模型的反應不如TE模式的效果好。

圖5 模型2Fig.5 The parameters of model 2

圖6 模型2視電阻和相位擬斷面圖Fig.6 The apparent resistivity and phase pseudo－section map of model 2

3.3 模型3－地塹模型

圖7 為地塹模型，區(qū)域大小為1 200m×500m。第一層的電阻率為10Ω·m，厚度為50m；在厚度為200m的中間存在一個地塹，長為150m，寬為150m；其中第二層電阻率變化過渡層，其電阻率是深度線性關系為：

具體參數(shù)詳見圖7。

圖8是用所編制的程序計算的TE，TM模式的視電阻率和相位擬斷面圖。從圖8上可以看出：電阻率值隨著頻率的減小從約10Ω·m逐漸線性減小到100Ω·m。在碰到地塹構造時，電阻率曲線明顯發(fā)生變化，形成一個凹陷區(qū)域，與計算模型的電阻率變化相一致。無論是TE模式還是TM模式，都能清楚地反映出第二層電阻率線性減小的變化和地塹結構形成的異常。相比之下TE和TM模式的視電阻率擬斷面圖，都能夠清楚地反映出地塹構造模型的電阻率實際分布情況。在TM模式下的相位斷面圖上，第二層能明顯地反應出來，在地塹位置形成了向深部延伸的低阻異常。比較而言，TE模式的相位斷面圖對模型的反應不如TM模式的效果好。

圖7 模型3Fig.7 The parameters of model 3

圖8 模型3視電阻率和相位擬斷面圖Fig.8 The apparent resistivity and phase pseudo－section map of model 3

4 結論

通過對電導率分塊線性變化二維高頻大地電磁的正演計算，可以得出以下幾點認識：

（1）通過模型1的計算和誤差分析表明，計算程序可靠，準確，能夠有效地進行高頻大地電磁正演模擬，能夠有效地解決電導率在水平和垂直方向分塊線性變化的高頻大地電磁正演問題。

（2）兩種模式都能清楚地反映模型中異常體形成的異常。相比較而言，TE模式和TM模式的視電阻率斷面圖都能對模型的電阻率分布進行正確的反應，但是TM模式的相位擬斷面圖比TE模式更能反應模型的電阻率分布情況。

［1］ 鄧居智，李紅星，楊海燕，等.高頻大地電磁法在長大深埋隧道勘察中的應用研究［J］.工程勘察，2010（9）：85.

［2］ 林昀.基于高頻大地電磁法對三峽某隧道不良地質體的勘察［J］.工程地球物理學報，2010，7（4）：456.

［3］ 王燁.基于矢量有限元的高頻大地電磁法三維數(shù)值模擬［D］.長沙：中南大學，2008.

［4］ WANNAMAKER P E，STODT J A，RIJO L.Two－dimensional topographic responses in magnetotelluric model using finite elements［J］，Geophysics，1986（51）：2131.

［5］ 陳樂壽.有限元法在大地電磁測深正演計算中的應用與改進［J］.石油勘探，1981，20（3）：83.

［6］ 徐世浙，于濤，李予國，等.電導率分塊連續(xù)變化的二維 MT有限元模擬［J］.高校地質學報，1995，1（2）：65.

［7］ 徐世浙.電導率分段線性變化的水平層的點電源電場的數(shù)值解［J］.地球物理學報，1986，21（1）：84.

［8］ 陳小斌.MT二維正演計算中地形影響的研究［J］.石油物探，2000，39（3）：112.

［9］ 劉云，王緒本。大地電磁自適應地形有限元正演模擬［J］.地震地質，2010，32（3）：382.

［10］湯井田，王燁，杜華坤，等.高頻大地電磁法有限元數(shù)值模擬［J］.物探化探計算技術，2009，31（4）：297.

［11］阮百堯，徐世浙.電導率分塊線性變化二維地電斷面電阻率測深有限元數(shù)值模擬［J］.中國地質大學學報，1998，23（3）：303.

［12］阮百堯，熊彬.電導率連續(xù)變化的三維電阻率測深有限元模擬［J］.地球物理學報，2002，45（1）：131.

［13］歐東新，阮百堯，王家林.電導率線性變化測井二維有限單元法數(shù)值模擬［J］.同濟大學學報，2005，33（5）：692.

［14］徐世浙.地球物理中的有限單元法［M］.北京：科學出版社，1994.

P 631.3＋25

A

10.3969／j.issn.1001－1749.2012.05.09

1001—1749（2012）05—0552—07

中南大學碩士生學位論文創(chuàng)新資助項目（2011ssxt055）

2012－01－09 改回日期：2012－06－16

戴前偉（1968－），男，湖南漣源人，博士，教授，從事電磁法方法及理論、工程地球物理勘探等方向的研究。