關于文科線性代數課程教學的幾點思考

李小朝，劉愛超

（黃淮學院 數學科學系，河南 駐馬店 463000）

關于文科線性代數課程教學的幾點思考

李小朝，劉愛超

（黃淮學院 數學科學系，河南 駐馬店 463000）

在文科線性代數課程的教學中，合理地運用線性方程組知識，可以變抽象為直觀，變復雜為簡單。文科線性代數課程的分層教學既要充分考慮學生的數學基礎和數學認知能力，又要充分考慮學生對知識的不同需求和學習興趣，真正做到因材施教、因需施教。為了調動學生學習的積極性和主動性，應強化隨堂閉卷練習。

線性代數；線性方程組；矩陣；文科生

線性代數是大學公共課之一，由于概念抽象，計算復雜，令很多學生望而生畏，文科生更是如此。文科學生數學基礎普遍不好，容易對線性代數課程產生畏難情緒。如何才能讓文科學生學好線性代數，是任課教師不得不思考并必須面對的問題。以下筆者結合教學實踐，就文科線性代數課程的教學談幾點看法。

1 線性方程組知識的合理運用

線性方程組是線性代數教學的中心環節，矩陣、行列式、向量組的線性相關性、秩的求法、線性空間的基變換、坐標變換等，都與線性方程組有著直接或間接的聯系，同時學生中學階段學習過簡單的線性方程組知識，所以，由線性方程組引入問題，或利用線性方程組知識分析討論問題，學生容易接受。

1.1 從線性方程組出發引入課程教學

由線性方程組出發引入線性代數課程的教學內容，是很多大學教師講授線性代數課程的共同選擇。由于學生在中學階段學習過簡單的線性方程組知識，所以在講解行列式和矩陣的概念之前，可以通過一些簡單線性方程組的求解來引入這些概念。例如：可以通過消元法給出二元一次線性方程組的解，然后把這些解寫成二階行列式的比值的形式，再進一步給出抽象的n階行列式的概念；可以通過介紹n個變量m個方程的線性方程組，把它的系數和變量都寫成整體的形式，即給出矩陣的概念。至于相對抽象的矩陣的初等變換，其實就是對應線性方程組消元的過程，因此可以一邊對方程組消元，一邊對矩陣進行初等變換，這樣學生十分容易接受。盡管線性方程組通常被視為一個抽象的數學對象，但是與線性代數的內容相比它是具體的，學生容易接受和掌握。由線性方程組出發引入線性代數課程的教學內容，舉例給出線性方程組的一些具體應用，可以幫助學生領會線性代數的內涵，能使學生全面、深入地認識線性代數的研究對象，有利于激發學生的學習興趣。

1.2 利用線性方程組知識解釋抽象的概念

一些不易解釋清楚的線性代數概念，利用線性方程組知識來講解，往往能使問題簡單化。例如，求向量組的秩時，只需要將向量組中各向量作為列向量組成矩陣后，只作初等行變換將該矩陣化為行階梯形矩陣，則可直接寫出所求向量組的秩和極大無關組。

解：可以先把向量組作為列向量組成矩陣A，再利用初等行變換將A化為行最簡形矩陣B：

上面給出的是例1的完整解法，應該說教師在課堂上都能輕松地按此法講解。可是，由于授課對象是文科生，“有相同的線性組合關系”這一概念，單靠教師的語言解釋學生很難弄明白。利用同解線性方程組知識可以幫助學生理解這一概念，盡管一般情況下線性方程組的內容安排在向量組的線性相關性內容的后面，這并不妨礙我們先拿來用。

同時成立，即矩陣A的列向量組與B的對應的列向量組“有相同的線性組合關系”。

2 分層次教學的有效實施

目前，線性代數等數學課程的分層次教學引起了高校的重視，在獲得了一些寶貴經驗的同時，也有不少待完善之處。筆者認為，對于文科線性代數課程來講，分層時既要充分考慮學生的數學基礎和數學認知能力，又要充分考慮學生對知識的不同需求和學習興趣，真正做到因材施教，因需施教；宜把學生分成A、B兩個層次，應允許學生自愿選擇適合自己的層次。

A層次學生的數學基礎相對比較好，理解能力與領悟能力均較強，對數學有一定興趣。由于以后考研或者從事科學研究的需要，他們對線性代數有較高的需求。教師在教學過程中，可對教學內容進行擴充，加大難度，拓展知識面；可采用啟發式、問題發現式等教學方法；對于教材中一些簡單的基本概念，可以先讓學生自學，然后在課堂上做簡要的講解；對于比較抽象的定理、公式等內容，課堂上要進行詳細的推導和講解，要讓學生理解線性代數的內涵，掌握線性代數的理論體系。

對于 A層次學生的教學，還要注重新知識的引入和傳授，以拓寬學生的視野，提高學生的學習興趣。例如，在講解矩陣的跡時，可以特別強調跡為零的矩陣。跡為零的矩陣就是對角線元素之和為零的矩陣，但是怎樣能得到這樣的矩陣呢？在讓學生思考之后，教師可以這樣講解：對任意給定的n階方陣A和B，可定義一種新的運算由此得到的矩陣都是跡為零的矩陣，而這種運算剛好是李代數中的一個最基本的運算，典型的李代數在矩陣上的實現都是跡為零的矩陣。這樣，可以讓學生看到，矩陣的跡這個古老的知識點在現代數學中仍然具有很強的生命力（李代數是現代數學的一個主流研究方向）。再如，在講解線性空間的概念時，可以引入群的概念。線性空間所要滿足的四條法則，剛好就是交換群或者Abel群的定義，而群又是近世代數的基礎知識，在現代數學中也是一個很熱門的研究方向。通過引入群的概念，不但能提高學生的學習興趣，也有利于學生掌握線性空間的概念。

對于B層次的學生來說，線性代數的教學應以“夠用”為主要目的，即要能夠滿足學生學習后續課程的需要，要能夠滿足學生畢業后的工作需要。因此，在教學過程中，教師要結合教學重難點適當調整學時；要減少運算技巧的訓練，適當強化數學思想和方法的培養；要強化知識的直觀性和應用性，盡量通過實例或圖形來說明概念；要重視定理和公式的應用，一些定理的證明和公式的推導可以少講或不講；講解例題時要由易到難，由淺入深；要注重歸納類比、邏輯推理等方面的訓練，以提高學生的綜合能力。

3 作業的有效性

在文科線性代數課程的教學中，通常學生在課堂上回答問題的積極性非常高，課堂氣氛十分活躍，但不少學生并沒有真正理解相關知識的內涵。課堂或課后作業對文科線性代數課程來講十分重要，它有利于學生掌握和鞏固學習內容，也是教師了解學生對教學內容掌握情況的有效途徑。

常規性作業一般是課后習題，它能滿足基本的教學需要。教師在布置作業時不僅要充分考慮學生的基礎和學習需求，還要根據分層次教學的需要體現層次性。教師評價作業的原則要明晰，要鼓勵學生根據典型例題進行題目變形，要通過有效的措施盡量杜絕抄襲作業現象。筆者認為，為了調動學生學習的積極性和主動性，隨堂閉卷練習是必不可少的。在一章講完后，教師要對章節的知識點進行歸納總結，并進一步明確所要達到的教學目標，然后安排一節課左右的時間進行閉卷練習。閉卷練習的題目應以課后的習題為主，不宜過難，但可以靈活地加入一些新的題型，以便在檢驗教學效果和督促學生獨立完成課后作業的同時，培養學生的創新意識和創新能力，提升學生的綜合素質。

[1] 戴斌祥．線性代數[M]．北京：北京郵電大學出版社，2009．

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[3] 黃玉梅，李彥．非數學專業線性代數教學改革探討[J]．重慶文理學院學報，2009，28(5)：87―89．

[4] 何楚寧．大學文科線性代數課程教學構想[J]．長沙鐵道學院學報，2009，10(3)：101―103．

[5] 王紅慶．淺談文科高等數學教學[J]．山西師大學報，2009，36(5)：142―143．

G642.4

A

1006-5261(2012)02-0096-02

2011-09-07

李小朝（1981―），男，河南新蔡人，講師，博士．

〔責任編輯 張繼金〕