n階k次對合矩陣的性質

強春晨，岳育英，劉興祥，祝永華

(1.延安大學 數學與計算機學院，陜西 延安 716000;2.陜西省榆林市榆陽區 上鹽灣中學，陜西 榆林 719000;3.石河子 第二中學，新疆 石河子 832000)

矩陣是代數學的一個重要研究對象，也是數學分支不可缺少的工具，矩陣論方法對處理其他各分支問題也相當有力，所以本文從三個方面討論并總結了其中一種特殊矩陣的性質和用途，并對每個性質給予了必要的證明。下面就是關于n階k次對合矩陣的性質問題。

1 預備知識

性質［1］(AT)n=(An)T，n ∈ N*;(A－1)n=(An)－1，n∈N*(AT表示的轉置，A－1表示 A 的逆矩陣，下同)。

定義1［1］若存在可逆矩陣 P，使得 P－1AP=B，則A與B相似。

定義2［1］若n階實矩陣U滿足UUT=UTU=E(其中E為n階單位矩陣，下同)，則稱U為一個正交矩陣。

定義3 設A是n階矩陣，若存在最小正整數k∈N－{0，1}，使得Ak=E，則稱A為n階k次對合矩陣。

定義4 設A是n階矩陣，若存在最小正整數k∈N －{0，1}，使得 Ak=lE(l≠0)，則稱 A為 n階 k次廣義對合矩陣。

2 n階k次對合矩陣的性質

(以下簡稱k次對合矩陣)

2.1 基本性質

定理1 k次對合矩陣的轉置是k次對合矩陣。

證明 設A是k次對合矩陣，則存在最小正整數 k∈N － {0，1}，使得 Ak=E，則(AT)k=(Ak)T=ET，假設存在 m∈N －{0，1}且 m ＜k，使得(AT)m=ET，即有((AT)m)T=(ET)T=E，于是((AT)T)m=E，即Am=E，這與k為最小正整數矛盾，從而得知k為使得(AT)k=ET成立的最小正整數，因此A的轉置是k次對合矩陣，命題得證。

定理2 k次對合矩陣的l次冪是k次對合矩陣。

證明 設A是k次對合矩陣，則存在最小正整數 k∈N －{0，1}，使得 Ak=E，則(Al)k=(Ak)l=El，假設存在m∈N －{0，1}且 m ＜k，使得(Al)m=El，即有(Am)l=El，因此Am=E，這與k是最小正整數矛盾，因此，k次對合矩陣的l次冪是k次對合矩陣。

定理3 k次對合矩陣的特征值為k次單位根。

證明 設A是k次對合矩陣，則存在最小正整數k∈N－{0，1}，使得Ak=E，不妨設λ是A的任意一個特征值，x是A的屬于特征值λ的一個特征向量，因而有x≠0 且Ax=λx，則Akx=Ak－1(Ax)=Ak－1λx=… =λkx，又因為 Ak=E，所以(λk－1)x=λkxx=0，由于 x≠0，所以 λk=1，因此，A的特征值為 k次單位根。

定理4 k次對合矩陣與q(q≠0)的數量乘積是n階k次廣義對合矩陣。

證明 設A是k次對合矩陣，則存在最小正整數 k∈N － {0，1}，使得 Ak=E，從而(qA)k=qkAk=qk－1(qAk)=qk－1(qE)，令 qk－1=r，則 (qA)k=r(qE)(r≠0)，由最小數原理知，一定存k0∈N－{0，1}，r＇∈R －{0}，使得(qA)k0=r＇(qE)，因此 qA(q≠0)是k次廣義對合矩陣。

2.2 帶有一定條件的對合矩陣的性質

定理5［3］可逆的k次對合矩陣的逆仍是k次對合矩陣。

證明 設A是可逆的k次對合矩陣，則存在最小正整數 k∈N －{0，1}，使得 Ak=E，則有(A－1)k=(Ak)－1=E－1，假設存在 m∈N － {0，1}且 m ＜ k，使得(A－1)m=(Am)－1=E－1，則兩邊同時取逆，有((A－1)m)－1=(E－1)－1，于是((A－1)－1)m=E，即Am=E，這與k是最小正整數矛盾，從而得知k為使得(A－1)k=E－1成立的最小正整數，因此k次對合矩陣A的逆是k次對合矩陣，命題得證。

定理6 可逆的k次對合矩陣的伴隨矩陣是k次對合矩陣。

證明 設A是可逆的n階k次對合矩陣，A*是A 的伴隨矩陣，則有 A*=AA－1，且 Ak=E，即 Ak－1A=E，則 Ak－1=A－1，所以 A*=AA－1=AAk－1，則(A*)k=(AAk－1)k=Ak(Ak－1)k=E(Ak)k－1=E，由 k次對合矩陣的定義知A*是k次對合矩陣。

定理7 A，B均為k次對合矩陣，則AB是k次對合矩陣。

證明 由于A，B均為k次對合矩陣，所以有Ak=E，Bk=E，則(AB)k=BkAk=EE=E，所以，由 k次對合矩陣的定義知AB是k次對合矩陣。

定理8 若A為k次對合的正交矩陣，則AT=Ak－1。

證明 由A為正交矩陣知，AAT=ATA=E，即矩陣A可逆，A－1=AT且|A|2=1，由已知，存在最小正整數，k∈N －{0，1}使得 Ak=E，因而有Ak－1=AkA－1=EA－1=A－1=AT，因此 AT=Ak－1，命題得證。

定理9［3］與k次對合矩陣相似的矩陣仍為k次對合矩陣。

證明 設A是k次對合矩陣，則存在最小正整數k∈N－{0，1}，使得Ak=E，若n階矩陣B與A相似，則存在可逆矩陣T，使得T AT=B，因而有B=(T－1AT)k=T－1AkT=T－1ET=E，假設存在 m∈N －{0，1}且 m ＜k，使得 Bm=B，即(T－1AT)m=T－1ET，則 T－1AmT=T－1ET，上式兩邊分別左乘 T，右乘T－1，有 Am=E。

這與k為使得Ak=E成立的最小正整數矛盾，因此，根據定義可知B是n階k次對合矩陣，所以命題得證。

2.3 與對合矩陣有關的性質

定理10［4］A為k次對合矩陣，若A與n階對角矩陣B相似，則B的對角線上元素為k次單位根。

證明 因為k次對合矩陣A與n階對角矩陣B相似，則存在n階可逆矩陣T，使得，

因此 λik=1(i=1，2，…，n)，命題得證。定理11 設A是非零n階k次對合矩陣，m≠0，n≠0，mAk+nEn可逆的充要條件是 m+n≠0。

證明 充分性 若m+n≠0，則|(m+n)En|≠0，(m+n)En可逆，對合矩陣的定義知由Ak=En，則有 mAk+nEn=mEn+nEn=(m+n)En，因此，mAk+nEn可逆。

必要性 因為A是非零n階k次對合矩陣，則Ak=En，又因為 mAk+nEn=mEn+nEn=(m+n)En，若mAk+nEn可逆，m≠0且 n≠0，則(m+n)En可逆，因此m+n≠0。綜上命題成立。

2.4 應用

已知Ai(i=1，2，…，k)是n階m次對合矩陣，

證明 由已知知，存在最小正整數m∈N－{0，1}，使得 A1m=E(i=1，2，…，k)，

是kn階對合矩陣。

3 小結

本文在對合矩陣的有關概念與性質的基礎上，把一般矩陣的性質推廣到特殊的n階k次對合矩陣，極大的豐富了代數這門課的內涵，推廣了對合矩陣研究的相關理論。至于這種推廣的理論與實際應用價值怎樣，它對其他科學研究將產生何種影響，還有待科研工作者進一步探索與發掘。

［1］張禾瑞，郝鈵新.高等代數(第四版)［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［2］葉克仁.對合矩陣［J］.麗水學院學報，1991(S1):55－56.

［3］史榮昌，魏豐.矩陣分析［M］.北京:北京理工大學出版社，2005.

［4］郭華.實冪等矩陣的幾個等價條件［J］.渝州大學學報，2001，18(2):20 －23.

［5］Roger A.Horn，Charles R.Johnson.Matrix Analysis［M］.China:Machine Press，2005.