航空貨運市場軸輻式網絡構建博弈分析

郭瑩瑩

（華中科技大學 控制科學與工程系，湖北 武漢430074）

一、引言

在貨運市場上，航空物流憑借其時效優(yōu)勢得到快速增長。早期，航空運輸企業(yè)普遍采用城市對式航線結構；20世紀后葉，則出現了軸輻式航線網絡。設計出合理、高效的航線網絡是航空運輸公司迫切需要解決的首要問題。

目前對航線網絡的研究，主要集中在航線網絡理論研究和航線網絡求解算法兩方面。在航線網絡理論研究中，主要將航線網絡劃分為直達網絡、環(huán)行網絡、軸輻式網絡和子環(huán)行網絡四種，Lederer等探討了網絡參數對四種航線網絡的影響，提出網絡結構設計的一些主要參考因素［1］；李革慶運用經濟方法和理論，從民航運輸實際出發(fā)得出現階段中國應致力于軸輻式航線網絡建設的結論［2］；Mikio等研究了航運市場網絡競爭，提出雙層方法，包括承運商網絡競爭和給定最優(yōu)服務質量前提下顧客的最優(yōu)行為選擇［3］。上述研究大多基于航空客運市場，而航空貨運的不同在于客戶的行為只是選擇承運商，亦即貨物運輸路徑完全由承運商決定，因此在物流時效競爭環(huán)境下，研究專門針對航空貨運市場的航線網絡構建方法具有重要意義。在航線網絡求解算法研究中，學者們多從運籌規(guī)劃角度進行求解分析，柏明國對全連通航線網絡和樞紐航線網絡進行了定量化比較研究，提出解決無容量限制的多重分派p－樞紐中位問題的兩種算法，考慮航班計劃提出了一種航線網絡設計的三階段方法［4］；楊晗熠將幾何舍入算法應用于中國民航網絡連接問題的計算，確定如何以最少的成本組織航空貨運，將軸輻式網絡結構應用于中國主要城市民航運輸網絡結構設計中［5］。部分學者用博弈方法解決航空客運網絡規(guī)劃問題，至于航空貨運問題基本是在傳統(tǒng)規(guī)劃方法上進行擴展和改進。從市場競爭的角度看，航空貨運網絡構建實質上也是博弈問題，用博弈的方法分析解決該問題更符合問題本身。

本文基于航空貨運市場，研究在市場競爭條件下承運商的網絡構建決策，從博弈角度為航空貨運軸輻式航線網絡構建提供一種定量分析方法，并從戰(zhàn)略、策略和運作三個層面入手，給出網絡構建模型及求解算法，同時算例分析成本結構變化對博弈結果的影響，以期對承運商在激烈的市場競爭中構建貨運樞紐網絡提供依據。

二、基于博弈的軸輻式網絡構建模型

航空貨運市場上承運商構建網絡的決策過程通常為：首先研究競爭對手的樞紐網絡結構以及市場份額，然后根據研究結果確定自己的樞紐網絡結構、所占市場份額以及航線運作計劃，整個博弈過程包括三個層面的交互式決策，即戰(zhàn)略層的樞紐網絡結構（樞紐的個數和位置）、策略層的需求計劃（確定需求和運價）以及運作層的運輸路線。每家承運商都按收益最大化來構建運輸網絡，但所有承運商的決策共同決定市場價格，任一承運商任一層面決策的改變都會影響市場價格，從而促使其他承運商的決策做出相應改變。這樣的博弈過程不斷持續(xù)進行，直至達到一個相對穩(wěn)定的均衡。

（一）模型參數說明

1.模型中的符號及其說明

F：承運商集合；f，g：承運商（f，g∈F）；N：運輸網絡中節(jié)點集合；A：運輸網絡中節(jié)點間連線的集合；H：樞紐集合；M：l個OD需求對（市場）集合；O：需求源節(jié)點集合；D：需求目的點集合；ci：貨物在節(jié)點i的單位處理成本；cij：貨物在節(jié)點i和j連接上的單位運輸成本；ch：樞紐h的固定設備成本；Vh：h的處理容量；ti：貨物在節(jié)點i的處理時間；tij：貨物在節(jié)點i和j連接上的運輸時間；Tk：OD 需求對間服務水平（k∈M）；pk：第k個OD需求對間的運價，由自己的市場份額和對手的市場份額決定，即pk＝p（qfk，qgk），g∈F＼f，k∈M，稱為逆需求函數。

2.模型中決策變量

qk：第k個OD需求對的需求，k∈M；

?ij∈A，k∈M

（二）承運商的網絡構建模型

承運商從最大化收益角度出發(fā)，在滿足節(jié)點流量、樞紐處理容量、服務水平以及決策變量值的約束條件下，構建樞紐網絡模型。

模型1：

MaxΨf（qf，xf，yf｜q－f）

（三）模型求解

模型1中決策變量yfh是離散可列的，針對每個可列舉的變量yfh，模型1可等價轉化為模型2。

模型2：

Max Ψf（qf，xf，y∧f｜q－f）

模型2屬于非線性整數規(guī)劃問題，為得到所求問題的穩(wěn)定均衡解，采用Jacobi迭代算法，即對角化算法［6］。當一個承運商f要決定其需求計劃［qkf］和運作計劃［］時，假設f 是市場上唯一的決策者，承運商g（g∈F＼f）仍然保持與其前一時期相同的需求水平［（］。f將g 的需求計劃［?］看作常量來決定自己的需求計劃［（qk）t在競爭對手的需求［（qk）t］確定后，承運商自己的價格優(yōu)化問題就是確定［（qk）t］和［］使得在滿足約束的情況下收益ψ最大。這個過程不斷持續(xù)直到所有承運商都不會改變［（qk）t］和［xij，k］來提高收益。算法過程如下：

（3）收斂性檢驗。當第t－1次和第t次連續(xù)兩次迭代間需求的最大變化率不超過事先設定的范圍ε時迭代結束，即

s.t.（2）、（4）和（5′）

該最小成本路徑問題，可以采用Floyd最短路徑算法［7］求得，從而得到承運商的運輸路線｛，?ij∈A，k∈M，f∈F｝。

在成本路徑確定后，收益最大化問題轉化為：

為簡化求解模型，考慮雙頭壟斷市場的情況，即航空貨運市場上只有兩家承運商f和g參與市場競爭，市場價格函數pk＝p（，），假設壟斷市場的逆需求函數為P＝a－Q，其中Q為市場的總需求量，Q＝＋。將其帶入式（1′），可以得到：

其為二次規(guī)劃問題，可將其轉化成標準型：

該二次規(guī)劃問題可通過軟件進行求解［8］。

通過以上算法描述可以得到每個承運商在不同樞紐網絡結構下的支付，從而得到相應的支付表，進而得到兩個承運商競爭的Nash均衡解。

三、算例分析

假設雙頭壟斷市場上有承運商A和B，他們均要在中國8個城市中構建快遞航運網絡，8個城市間的直線距離為其初始運輸成本矩陣（如表1所示），其中候選樞紐城市編號為1、2、3。求解過程中整個市場的逆成本需求函數為P＝5000－Q，Jacobi算法最大迭代次數為100，樞紐間運輸（主干線）成本折扣因子為0.8。

表1 8城市間直達距離（初始運輸成本矩陣） 單位：km

當承運商A和B具有相同的成本結構時，假設單個樞紐日中轉容量為10噸，樞紐建設成本為10元／千克，即10萬元，節(jié)點單位處理成本為1元／千克。求解工具使用Matlab 2009a，可得支付矩陣（見表2），表中帶下劃線的數值為Nash均衡解。

當承運商的成本結構發(fā)生變化時，均衡結果也會有所變化，如表3所示。

在承運商A和B成本結構相同時，支付矩陣為對稱矩陣，Nash均衡解也對稱。樞紐容量為10噸時的結果與容量為30噸和50噸時不同，是由于10噸時容量過小導致樞紐滿負荷運行，某些需求對的運輸由于最優(yōu)中轉樞紐的容量限制而不得不轉走其他次優(yōu)線路，使得成本提高而失去部分市場份額，因此兩個承運商的最后均衡結果呈互補狀態(tài)，分別在不同的市場占有大部分份額。當樞紐建設容量提高到足以滿足各個OD對的需求時，兩個承運商博弈的最終結果均為選擇（1，2，3）三個樞紐，當樞紐建設容量繼續(xù)增大時，最優(yōu)選擇不變，因為需求早已穩(wěn)定飽和，所以最終結果是多浪費超出額度的樞紐建設成本，導致收益減少。

表2 成本結構相同時支付矩陣（樞紐容量為10 t） 單位：千萬元

表3 不同成本結構組合下的Nash均衡解及收益表

當兩承運商的成本結構不同時，支付矩陣為非對稱矩陣。分三種情形：情形4是樞紐容量的不同導致建設成本不同，結果為（（1，2，3），（2）），均衡收益為（11.387，6.739 5），該結果的出現是因為B的樞紐容量過小導致失去部分市場份額，使得只選2城市作為樞紐成為其Nash均衡選擇，且具有較少的均衡收益；情形5是A和B具有相同的樞紐容量和建設成本，但節(jié)點單位處理成本不同，A比B更具成本優(yōu)勢，均衡結果為（（1，2，3），（1，2，3）），均衡收益 為（9.274 6，9.271 0），A和B的樞紐容量均能滿足市場需求，A憑借低處理成本優(yōu)勢可以占有較大市場份額，獲得較高收益；相比情形5，情形6更符合實際，6可以理解為A為減少日后節(jié)點單位處理成本而加大建設投入，因此在相同的樞紐建設容量下，A具有較高的樞紐建設成本和較低的節(jié)點單位處理成本，此時均衡結果為（（1，2，3），（1，2，3）），收益為（9.265 6，9.271 0）。A加大建設投入而降低的處理成本并沒有獲得最后收益的增加，原因有二：一是樞紐設計容量過大，使得部分容量處于空閑狀態(tài)，超出的設計容量只有投入沒有產出；二是A的低成本使其獲得較大的市場份額，而增加的市場份額獲得的收益卻低于高份額產生的處理成本，即A的低單位處理成本在市場自動調節(jié)的情形下并未產生成本優(yōu)勢，因此A獲得的收益略低于B的收益。

將情形5和6與成本結構相同的情形2進行比較可發(fā)現，情形5下A成本結構的改變使得自己的收益增加，對手的收益減少，因此在實例假設條件下，若能在不增加樞紐建設成本的前提下降低單位處理成本，則可以提高收益。情形6下A成本結構的改變使得自己和競爭對手的收益都減少。作為與實際情形更相符的情形6并沒有使博弈雙方取得比成本結構相同時更高的收益，因此在實例假設條件下，情形6中成本結構的改變并不是明智之舉。

四、結語

在假設條件下，博弈雙方若想獲得高收益，樞紐設計容量必須能滿足未來可能達到的穩(wěn)定需求，此時，三個候選樞紐城市均作為樞紐是雙方最優(yōu)選擇，但隨著樞紐設計容量的增加，收益并未隨之增加，說明博弈雙方要得到高收益一定要準確估計未來需求。當博弈雙方成本結構出現差異時，若雙方樞紐設計容量仍能滿足未來可能達到的穩(wěn)定需求，則雙方最優(yōu)選擇仍是三個候選樞紐城市均作為樞紐，但并非成本改變一定會帶來對自己或對雙方均有益的結果。

［1］P J Lederer，R S Nambimadom.Airline network design［J］.Operations Research，1998，46（6）：785－804.

［2］李革慶.關于建立中樞輻射航線網絡布局的研究［D］.西安：西北工業(yè)大學，2002.

［3］T Mikio，K Adib.Network competition in air transportation markets：bi－level approach［J］.Research in Transportation Economics，2005（13）：101－119.

［4］柏明國.航空公司航線網絡優(yōu)化設計問題研究［D］.南京：南京航空航天大學，2006.

［5］楊晗熠.樞紐確定單連接軸—輻網絡結構在中國民用航空網絡中的應用［J］.北京理工大學學報：社會科學版，2010，12（2）：27－30.

［6］C L Cheng，S C Lee.The competition game on hub network design［J］.Transportation Research Part B，2010（44）：618－629.

［7］柏明國，姜濤，朱金福.基于禁忌算法的中樞輻射航線網絡魯棒優(yōu)化方法［J］.數學的實踐與認識，2008，38（13）：60－69.

［8］《運籌學》教材編寫組.運籌學［M］.北京：清華大學出版社，2001.