裂紋對弧齒錐齒輪扭轉嚙合剛度影響分析

馮 剛，李彥彬，高虹霓，陳戰輝

(空軍工程大學 導彈學院，三原 713800)

弧齒錐齒輪在機械工業中有著廣泛的應用，當弧齒錐齒輪發生裂紋故障時將嚴重影響到機械系統的安全性和可靠性，甚至會導致災難性事故發生。本文給出一種仿真模擬與數值計算方法，用于及早判斷裂紋的存在及大小，為最終預測齒輪發生斷齒事故的剩余壽命提供依據，從而避免災難性事故發生。

1 齒輪扭轉嚙合剛度的定義

Sirichai［1］給齒輪扭轉嚙合剛度的定義:齒輪承受的扭矩載荷與該扭矩載荷作用下輪體產生的總彈性扭轉角之間的比值，其物理含義為產生單位扭角所需的扭力矩。對弧齒錐齒輪，總接觸力F沿嚙合點處的法線方向，扭矩是接觸力F沿切向方向的分力和接觸點到齒輪中心垂直距離(半徑)的乘積，記作:

式中:αn為壓力角;βm為齒寬中點分度圓上的螺旋角。

齒輪轉過的角度θ等于齒輪接觸點處轉過弧長δ與半徑r之間的比值，記作θ=δ/r。扭轉嚙合剛度由下式計算:

式中彎曲剛度K通過受載后齒輪撓曲變形大小確定。輪齒在外載荷作用下產生的彈性變形主要包括接觸變形和彎曲變形。根據圣維南原理，可選取受力面齒頂邊緣中點作為計算扭轉嚙合剛度的參考點，該參考點處的扭轉嚙合剛度與嚙合點處的相同。

2 含裂紋弧齒錐齒輪三維有限元接觸模型

利用嚙合原理建立齒面方程，根據弧齒錐齒輪已知參數(如表 1所示)，通過Matlab計算軟件求解齒面方程，獲得大量齒面數據點的坐標，再將這些數據點導入Pro/E中建立齒輪的實體模型。通過Pro/E掃描工具中的切口命令，在齒根處切割出裂口寬度為0.156 mm，深度為4 mm的裂紋，該裂紋通透齒輪大小端面。設置齒輪的材料屬性為:彈性模量E=1.95 ×1011N/m2，泊松比 ε =0.3。采用SOLID95單元劃分網格后生成的齒根處含4 mm裂紋有限元模型如圖1所示，三維接觸有限元模型如圖2所示。

圖1 齒根處深4 mm裂紋有限元模型圖Fig.1 The finite element model diagram of depth=4 mm Crack Located in Tooth Root

表1 弧齒錐齒輪副基本參數Tab.1 Basic parameters of spiral bevel gear pair

以含裂紋的主動輪為例，按照主動輪三個輪齒先后嚙合次序分別命名為齒Ⅰ、齒Ⅱ、齒Ⅲ，4 mm大小端通透裂紋位于齒Ⅱ根部，以齒Ⅱ齒頂凹面邊緣線的中點作為角位移Δθ的計算取值點，如圖3所示。基于ANSYS有限元分析軟件對弧齒錐齒輪在一個嚙合周期內的加載接觸特性進行分析。

圖2 兩齒輪嚙合有限元模型圖Fig.2 The engaging gears finite element model diagram

圖3 嚙合的含裂紋的三齒模型和嚙合剛度計算點示意圖Fig.3 The engaging three-tooth model and mesh stiffness calculating point schematic diagram

已知所研究的中心軸弧齒錐齒輪副在正常工作時受到的平均動載荷為304 Nm左右，在建立的弧齒錐齒輪有限元模型基礎上，通過約束從動輪(大齒輪)安裝孔表面上的所有節點，固定不含裂紋的從動輪輪轂內圈;通過在主動輪(小齒輪)安裝孔表面的每個節點上施加切向力，對含裂紋主動輪輸入T=304 Nm的轉矩。以齒Ⅱ嚙入點為基準起始點，旋轉主動輪使其每隔3°與從動輪在不同位置嚙合一次，即可得到一個輪齒一次嚙合循環中10個位置的加載接觸特性，在對其分析結果中，選取其中1個嚙合位置的等效應力云圖如圖4所示。

圖4 含裂紋主動齒輪接觸應力云圖Fig.4 The cracked driving gear contact stress nephogram

3 結果與分析

將輪齒Ⅱ從剛開始進入嚙合到退出嚙合的整個過程作為一個周期t，在一個嚙合周期t中，把t等分成9段，分別算出每個時間點處主動輪有裂紋和無裂紋單齒的扭轉變形角 Δθi(i=1，2，3，…，10)，然后按照扭轉嚙合剛度的定義算出在轉矩為304 Nm時每個時間點處齒Ⅱ的扭轉嚙合剛度，則可得到10個ki(i=1，2，3，…，10)的值，如表2、表3所示。對這10個離散的ki值，通過離散傅里葉變換將其轉換成不同頻率的正、余弦曲線，即可比較無裂紋和含裂紋不同條件下嚙合剛度的變化情況。

表2 齒Ⅱ無裂紋時不同嚙合位置的嚙合剛度Tab.2 The mesh stiffness in different engaging position under the condition of toothⅡwithout crack

表3 齒Ⅱ含4 mm齒根裂紋時不同位置的嚙合剛度Tab.3 The mesh stiffness in different engaging position under the condition of toothⅡwith depth=4 mm crack located in tooth root

運用MATLAB中的cftool工具箱對表2、表3得到的各個嚙合點的嚙合剛度值進行傅里葉擬合，得到如圖5所示的一個周期內單齒嚙合剛度擬合曲線及擬合表達式。

圖5 無裂紋和含裂紋弧齒錐齒輪嚙合剛度變化曲線Fig.5 The torsional mesh stiffness change curves of the cracked and uncracked spiral bevel gears

由圖5看出，主動輪嚙合剛度在整個嚙合過程中變化顯著，特別是在開始嚙合時變化比較劇烈，下降較快。隨著嚙合齒數的增多，嚙合剛度逐漸增加;隨著嚙合齒數的減少，嚙合剛度逐漸減小，此過程的圖形類似拋物線。因此，嚙合齒輪在實際工作中，隨著不同時刻嚙合輪齒的對數及嚙合位置的不同，剛度是變化的。對整個齒輪嚙合一周，剛度的變化是周期性的。

當主動輪輪齒轉角(以主動輪齒Ⅱ的嚙入點為基準)小于11.3°時，含裂紋的嚙合剛度值比無裂紋的小，原因是由含裂紋的輪齒齒Ⅱ承擔主要載荷。當主動輪輪齒轉角(以主動輪齒Ⅱ的嚙入點為基準)大于11.3°時，含裂紋的嚙合剛度值比無裂紋的大，原因是由無裂紋輪齒齒Ⅰ、齒Ⅲ承擔主要載荷。通過對含裂紋和無裂紋齒輪嚙合剛度曲線的對比，可得出結論:裂紋使扭轉嚙合剛度的變化幅度增加。

設主動齒輪轉速為ω，則任意時刻無裂紋齒輪嚙合剛度表達式為:

則無裂紋齒輪嚙合剛度的平均值為:

含4 mm裂紋齒輪嚙合剛度的表達式為:

則含4mm齒根裂紋齒輪嚙合剛度的平均值為:

由km＜k'm可知:裂紋的出現使含裂紋齒的平均嚙合剛度增加，載荷在嚙合齒之間進行了重新分配。總體上看，載荷主要集中加載在其它兩個無裂紋齒上，使得含裂紋齒受載減小，總體變形減小，在總轉矩不變的情況下，平均嚙合剛度有所增加。

4 結論

(1)利用Pro/E和ANSYS有限元軟件可有效地解決弧齒錐齒輪裂紋引起的齒輪扭轉剛度變化的問題，并能對齒輪裂紋故障進行模擬仿真和預測。

(2)隨著弧齒錐齒輪副的轉動，齒輪的扭轉嚙合剛度會隨著嚙合位置的不同及同時參與嚙合齒數的多少呈現出周期性變化。

(3)當弧齒錐齒輪單齒產生裂紋時，若在單齒嚙合區載荷僅有裂紋齒承擔，裂紋會使單齒的嚙合剛度下降;若考慮包括裂紋齒的多齒嚙合，則扭轉嚙合剛度值會隨著嚙合齒數的變化而波動。嚙合齒數增多時，扭轉嚙合剛度增加;當嚙合齒數減少時，扭轉嚙合剛度減小。裂紋改變了齒輪副的重合度和輪齒間的載荷分配系數，使扭轉嚙合剛度的變化更加劇烈。

［1］ Sirichai S.A finite element model of spur gears in mesh with a single tooth crack［C］//Third International Symposium on Advanced ＆ Aero space Science and Technology，Indonesia，Jakarta:ISASTI，1998:233-241.

［2］ Amarnath M，Sujatha C，Swarnamani S.Experimental studies on the effects of reduction in gear tooth stiffness and lubricant film thickness in a spur geared system［J］.Tribology International，2009，42:340-352.

［3］ Chaari F，Fakhfakh T.Analytical modelling of spur gear tooth crack and influence on gearmesh stiffness［J］.European Journal of Mechanics A/Solids，2008，7:1-8.

［4］ Howard I，Jia S X，Wang J D.The dynamic modelling of a spur gear in mesh include-ing friction and a crack［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2001，15(5):831-853.

［5］ Yesilyurt I，Gu F S，Ball A D.Gear tooth stiffness reduction measurement using modal analysis and its use in wear fault severity assessment of spur gears［J］.NDT＆E International，2003，36:357-372.

［6］邵忍平，黃欣娜，李宗斌.裂紋對齒輪結構振動的影響［J］.機械強度，2004，26(6):629-635.

［7］安春雷，韓振南.點蝕與剝落對齒輪扭轉嚙合剛度影響的分析［J］.振動、測試與診斷，2008，4(28):354-357.

［8］鄭昌啟，黃昌華，呂傳貴.螺旋錐齒輪加載接觸分析計算原理［J］.機械工程學報，1993，29(4):50-54.

［9］李建宜，韓振南.基于有限元的齒輪扭轉剛度計算［J］.機械工程與自動化，2006，4:46-50.

［10］馮 剛，王三民，袁 茹，等.裂紋對弧齒錐齒輪固有特性的影響分析［J］.機械科學與技術，2010，29(6):709-713.

［11］邵忍平，徐志鋒，薛 騰，等.裂紋對齒輪三維彈性體振動聲輻射特性影響的研究［J］.振動與沖擊，2010，29(9):175-180.