非對(duì)稱截面兩自由度非線性振動(dòng)

黃 坤，馮 奇

(同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092)

兩自由度彎扭耦合動(dòng)力系統(tǒng)是很多實(shí)際工程結(jié)構(gòu)所采用的動(dòng)力學(xué)模型［1-2］，例如橋梁典型斷面的彎扭耦合振動(dòng)，覆冰輸電線路及二元機(jī)翼的風(fēng)致振動(dòng)等。由于在實(shí)際的工程中，結(jié)構(gòu)會(huì)出現(xiàn)非常大的扭轉(zhuǎn)變形。例如在Tacoma橋的破壞過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，橋面從大約0.62 Hz的垂向彎曲振動(dòng)突然轉(zhuǎn)變?yōu)榇蠹s0.23 Hz的大幅扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。并最終由于大幅扭轉(zhuǎn)振動(dòng)致使結(jié)構(gòu)破壞［3-4］。覆冰輸電線路在水平風(fēng)的激勵(lì)下可產(chǎn)生振幅達(dá)數(shù)十米的大幅顫振［1］。實(shí)際上，使用兩自由度模型來(lái)研究實(shí)際結(jié)構(gòu)的彎扭耦合振動(dòng)問(wèn)題一直被廣泛關(guān)注。李欣業(yè)等［5］使用非對(duì)稱截面的兩自由度模型并結(jié)合數(shù)值仿真研究了覆冰輸電導(dǎo)線的風(fēng)致顫振問(wèn)題。趙永輝等［6］研究了大展弦比機(jī)翼的彎扭耦合顫振問(wèn)題。Matsumoto等［7］重新考查了風(fēng)致渦激對(duì)Tacoma橋彎扭耦合振動(dòng)影響。然而在現(xiàn)有的研究文獻(xiàn)中，大多數(shù)對(duì)彎扭耦合振動(dòng)研究均采用在小扭轉(zhuǎn)變形條件下建立的數(shù)學(xué)模型［1，4-5，8-9］。由于在大扭轉(zhuǎn)變形條件下的非對(duì)稱截面彎扭耦合振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)有文獻(xiàn)中未見報(bào)道。為此本文建立了一組能描述彎扭耦合振動(dòng)中大扭轉(zhuǎn)變形的影響的數(shù)學(xué)模型，并以此為基礎(chǔ)對(duì)系統(tǒng)在主共振情況下的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究。

1 模型建立

考慮圖1所示的非對(duì)稱截面兩自由度彎扭耦合模型:

設(shè)系統(tǒng)的絕對(duì)坐標(biāo)系為OaXY，在X和Y方向的位移分別為u，v。相對(duì)坐標(biāo)系為oxy，在相對(duì)坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)為(η，ξ)。其中o為截面的剪切中心，因此當(dāng)外力通過(guò)o點(diǎn)時(shí)，外力不產(chǎn)生扭矩。在本文中把所有外力都向o點(diǎn)簡(jiǎn)化，使得簡(jiǎn)化得到的主矩即為扭矩。由于一般情況下外力的橫向分量較小，故省略主矢在橫向的分量。即不考慮結(jié)構(gòu)的橫向位移。在絕對(duì)坐標(biāo)系OaXY下，結(jié)構(gòu)各點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)可表示為相對(duì)運(yùn)動(dòng)及牽連運(yùn)動(dòng)的矢量和［10］。

圖1 結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Model of structure

其中ρ為結(jié)構(gòu)上的點(diǎn)在坐標(biāo)系oxy上的位矢，RO為相對(duì)坐標(biāo)系原點(diǎn)o在絕對(duì)坐標(biāo)系OaXY的位矢，表示為(X0，Y0+w)T。其中(X0，Y0)為結(jié)構(gòu)靜平衡時(shí)o點(diǎn)在絕對(duì)坐標(biāo)系下的坐標(biāo);w為o點(diǎn)在絕對(duì)坐標(biāo)系中的垂向牽連位移。上述表示意味著結(jié)構(gòu)在X方向上不產(chǎn)生位移。A為從坐標(biāo)系oxy到坐標(biāo)系OXY的坐標(biāo)變換矩陣。取兩個(gè)坐標(biāo)系都為右手直角坐標(biāo)系，故有:

由此得系統(tǒng)的動(dòng)能及勢(shì)能為:

上述表達(dá)式中，當(dāng) θ≈0時(shí)，有 sinθ≈0，cosθ≈1，代入T的表達(dá)式即可得結(jié)構(gòu)在小扭轉(zhuǎn)變形下的動(dòng)能。事實(shí)上，對(duì)于橋梁等大型斷面結(jié)構(gòu)上述勢(shì)能表達(dá)式中忽略了截面的翹曲應(yīng)變能。但一般來(lái)說(shuō)，相對(duì)結(jié)構(gòu)的彎曲變形能，截面的翹曲變形能較小。在大扭轉(zhuǎn)變形條件可以把三角函數(shù) sinθ，cosθ展開為:

把上式代入動(dòng)能的表達(dá)式，并令:

則有:

從上述的能量表達(dá)式可得結(jié)構(gòu)的Lagrange函數(shù)L=T-U。進(jìn)而通過(guò)系統(tǒng)的Lagrange方程可得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程組:

其中Q1、Q2為廣義力。把式(4)及式(6)各項(xiàng)代入方程組式(7)得動(dòng)力學(xué)方程組為:

方程組(8)即為在大扭轉(zhuǎn)變形條件下描述非對(duì)稱截面結(jié)構(gòu)彎扭耦合振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程組。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可以省略方程組的四次非線性項(xiàng)，得:

從上式看出，當(dāng)考慮大轉(zhuǎn)角時(shí)，結(jié)構(gòu)的垂向位移和扭轉(zhuǎn)會(huì)通過(guò)一次項(xiàng)，二次項(xiàng)及三次項(xiàng)進(jìn)行耦合。若省略方程組(9)的所有非線性項(xiàng)即可得小扭轉(zhuǎn)變形條件下的動(dòng)力學(xué)方程。雖然在小扭轉(zhuǎn)角情況下，系統(tǒng)可能因?yàn)閺V義力出現(xiàn)非線性項(xiàng)而誘發(fā)非線性動(dòng)力學(xué)行為［11-13］，但對(duì)于扭轉(zhuǎn)變形較大的結(jié)構(gòu)仍然需要直接求解方程組(9)。廣義力包含結(jié)構(gòu)阻尼力和其它外載荷，可設(shè)為:

從方程組(11)可知，系統(tǒng)在兩個(gè)簡(jiǎn)諧激勵(lì)下可能發(fā)生主共振，亞諧波共振和超諧波共振及1∶3內(nèi)共振。本文僅研究主共振的情況，其它共振情況將產(chǎn)生比主共振更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。將另文討論。

2 多尺度分析

為了能反映方程組中的一階耦合效應(yīng)，并使外激勵(lì)，阻尼和非線性項(xiàng)的效應(yīng)出現(xiàn)在同一攝動(dòng)方程中，僅對(duì)方程組(12)外激勵(lì)，阻尼和非線性項(xiàng)重新標(biāo)度，令:

式(12)化為:

現(xiàn)求解如下形式的解:

其中T1=εT0，同時(shí)有:

把上式及式(14)帶入式(13)，并令ε的同次冪的系數(shù)相等得如下兩組方程組:

設(shè)式(15)的解為:

由線性振動(dòng)理論可得:

把式(17)代入式(16)得:

其中NST表示非久期項(xiàng)，其它系數(shù)為:

從式(19)、式(20)可知，系統(tǒng)中除了簡(jiǎn)諧激勵(lì)誘發(fā)的主共振，系統(tǒng)中還有1∶3內(nèi)共振。此時(shí)假設(shè)ω1=ω12+εσ1，ω2=ω11+εσ2。為了從式(19)、式(20)中得到消除長(zhǎng)期項(xiàng)的可解條件，設(shè)式(19)、式(20)有如下的特解［14］:

代入(19)式，(20)有:

令上式兩邊 exp(iω11T0)，exp(iω12T0)的系數(shù)相等，可得:

由此可解條件為:

上式可化簡(jiǎn)為:

上式即為原方程組在非內(nèi)共振條件下的三階規(guī)范形。在下節(jié)可以看到，當(dāng)e1=0有B=0，并且從p12的表達(dá)式可知，此時(shí)有p12＞0，非線性項(xiàng)呈現(xiàn)漸軟彈簧。反之當(dāng)e2=0有A=0，p21＜0，此時(shí)非線性項(xiàng)相當(dāng)于漸硬彈簧。該結(jié)論在下節(jié)的算例中可以明顯看出。方程組(22)中的參數(shù)如下:

事實(shí)上，方程組(22)即為求解原方程組零階近似的復(fù)微分方程組，為了便于求解，令:

代入式(22)分離實(shí)部和虛部得如下自治微分方程組:

其中 φ1=φ1-σ1T1，φ2=φ2-σ2T1。顯然原方程組(12)的穩(wěn)態(tài)解即方程組(24)的奇點(diǎn)。根據(jù)ei(i=1，2)是否為零，系統(tǒng)可分為三種情況。當(dāng)e1≠0，e2≠0時(shí)，雖然結(jié)構(gòu)沒(méi)有內(nèi)共振但由于ei，σi(i=1，2)的取值不同造成方程組(24)出現(xiàn)余維二分岔，并導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。限于篇幅將另文討論。在本文中僅研究e1，e2之一為零的情況。

2.1 當(dāng) e1≠0，e2=0時(shí)

令a'=b'=φ'1=φ'2=0可得系統(tǒng)式(24)穩(wěn)態(tài)解。由該式第三和第四式可得b=0。因此系統(tǒng)(24)的穩(wěn)態(tài)解可由如下的二維系統(tǒng)決定:

令a'=φ'1=0可得式(25)穩(wěn)態(tài)解為:

上式求得的式(24)的穩(wěn)態(tài)解對(duì)應(yīng)原系統(tǒng)式(12)的周期解。上述穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性可通過(guò)在穩(wěn)態(tài)解處的線性化方程組式(25)所得Jacobi矩陣J1的特征值判斷［16-17］。矩陣J1的特征方程為:

其中:

2.2 當(dāng)e1=0，e2≠0時(shí)

和上節(jié)相同，此時(shí)系統(tǒng)式(24)的穩(wěn)態(tài)解由如下的二維系統(tǒng)決定:

式統(tǒng)(29)的穩(wěn)態(tài)解為:

同上節(jié)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性可以由式(29)的平衡點(diǎn)的Jacobi矩陣J2的特征值來(lái)判定。式(29)在穩(wěn)態(tài)解處的特征方程為:

其中:

3 算例及討論

取s11=0.5，cθ=0.02，cw=0.02，ω2w=4為例進(jìn)行計(jì)算。在e2=0的條件下，由式(26)可得系統(tǒng)關(guān)于激勵(lì)幅值e1(圖2)及頻率協(xié)調(diào)參數(shù)σ1的振幅響應(yīng)曲線(圖3)。從圖2可知，當(dāng)σ1＞0時(shí)振幅會(huì)隨激勵(lì)幅值的變化而突然跳躍。圖3說(shuō)明非線性項(xiàng)呈現(xiàn)硬彈簧的作用，這和上節(jié)的討論一致。為了檢驗(yàn)多尺度方法求得的解析解的正確性，對(duì)σ1=0情況進(jìn)行了數(shù)值積分，在圖2中用小圓圈表示。從中看出，多尺度法得到的結(jié)果是正確的。數(shù)值積分的結(jié)果顯示，當(dāng)振幅大于1時(shí)，解析解的精度將大幅降低。例如σ1=0.5，當(dāng)e1超過(guò)分岔點(diǎn)，振幅發(fā)生跳躍后，數(shù)值積分所得的振幅比解析解小約30%。盡管此時(shí)攝動(dòng)法已經(jīng)不再適用，但攝動(dòng)法仍然能較好的求出系統(tǒng)的分岔點(diǎn)。

圖2 低頻外共振時(shí)以e1為變量的響應(yīng)幅值曲線Fig.2 Frequency-response curve for e1 with low-frequency resonance

圖3 低頻外共振時(shí)以σ1為變量的幅頻響應(yīng)曲線Fig.3 Frequency-response curve for σ1 with low-frequency resonance

同樣，圖4，圖5為在e1的條件下，系統(tǒng)分別關(guān)于參數(shù)e2，σ2的振幅響應(yīng)曲線。此時(shí) σ＜0，系統(tǒng)的振幅出現(xiàn)跳躍，而非線性項(xiàng)呈現(xiàn)軟彈簧作用。在系統(tǒng)發(fā)生高頻振動(dòng)時(shí)，振幅較小。從數(shù)值積分的結(jié)果可以看出解析解有較高的精度。

4 結(jié)論

在大扭轉(zhuǎn)位移條件下得到了非對(duì)稱截面彎扭耦合兩自由度振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)微分方程組。在假設(shè)截面上下對(duì)稱的條件下，得到了一組一次項(xiàng)耦合的立方非線性常微分方程組。通過(guò)多尺度方法分析了上述立方非線性方程組，結(jié)論如下:

圖4 高頻外共振時(shí)以e2為變量的響應(yīng)幅值曲線Fig.4 Frequency-response curve for e2 with high-frequency resonance

圖5 高頻外共振時(shí)以σ2為變量的幅頻響應(yīng)曲線Fig.5 Frequency-response curve for σ2 with high-frequency resonance

(1)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，當(dāng)扭轉(zhuǎn)較大時(shí)，耦合方程組將出現(xiàn)立方非線性系統(tǒng)典型的振動(dòng)振幅隨激勵(lì)幅值和頻率的變化而突然跳躍的行為。這是用僅適合小扭轉(zhuǎn)變形的線性微分方程所不能揭示的。故在研究結(jié)構(gòu)伴有大幅扭轉(zhuǎn)的動(dòng)力學(xué)行為時(shí)，建議采用本文建立的非線性微分方程組進(jìn)行研究。(2)當(dāng)外激勵(lì)與結(jié)構(gòu)的低頻模態(tài)發(fā)生共振時(shí)，系統(tǒng)的非線性項(xiàng)產(chǎn)生漸軟彈簧的效應(yīng)。而當(dāng)外激勵(lì)與結(jié)構(gòu)的高頻模態(tài)共振時(shí)，非線性項(xiàng)產(chǎn)生漸硬彈簧的效應(yīng)。而此差異均是由于系統(tǒng)在一次項(xiàng)發(fā)生偶合造成的。故在研究彎扭偶合振動(dòng)時(shí)，即使一次耦合項(xiàng)的系數(shù)較小也不應(yīng)該忽略。

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